4.8: Colisiones elásticas en el marco COM

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Las ecuaciones (4.7.7) y (4.7.8) dan las velocidades finales de dos partículas después de una colisión totalmente elástica. Se realizó el cálculo en el marco de laboratorio, es decir, desde el punto de vista de un observador estacionario. Por supuesto, igual de bien podríamos haber hecho el cálculo en el marco del centro de masa (COM) de la Sección 4.3. Dentro de ese marco, como veremos a continuación, la relación entre las velocidades inicial y final en una colisión elástica es mucho más simple que en el marco de laboratorio. Utilizaremos la Ecuación (4.3.1) para calcular las velocidades en el marco COM. Por simplicidad notacional, trabajaremos en una dimensión, y usaremos una barra superior para indicar velocidades en el marco COM, así obtenemos

\[v_{i}=v_{\mathrm{cm}}+\overline{v}_{i}\]

para cada partícula\(i\). La velocidad del centro de masa es simplemente la derivada temporal de su posición. Para dos partículas, viene dada por

\[v_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \label{vcm}\]

Las velocidades de las dos partículas en el marco COM es entonces

\[\overline{v}_{1}=v_{1}-v_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(v_{1}-v_{2}\right)=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{\mathrm{rel}} \label{particle1}\]

\[\overline{v}_{2}=v_{2}-v_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(v_{2}-v_{1}\right)=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{\mathrm{rel}} \label{particle2}\]

donde\(v_{\mathrm{rel}}=v_{1}-v_{2}=\overline{v}_{1}-\overline{v}_{2}\) está la velocidad relativa de las dos partículas ³. Tenga en cuenta que no importa si calculamos la velocidad relativa en el laboratorio o en el marco COM. Las ecuaciones (\ ref {partícula1}) y (\ ref {particle2}) tienen una buena simetría en sus componentes de velocidad, pero no en sus componentes de masa. La simetría es más completa si en lugar de velocidades, consideramos momenta en el marco COM, donde\(\overline{p}=m \overline{v}\):

\[\overline{p}_{1}=m_{1} \overline{v}_{1}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{\mathrm{rel}}=\mu v_{\mathrm{rel}}\]

\[\overline{p}_{2}=m_{2} \overline{v}_{2}=-\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{\mathrm{rel}}=-\mu v_{\mathrm{rel}}\]

donde introdujimos una nueva variable\(\mu\), la masa reducida

\[\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\]

Claramente el momento total en el marco del centro de masa es cero ⁴ (como debería ser), tanto antes como después de una colisión, y así se conserva. Para saber qué sucede con la velocidad relativa en una colisión elástica, invocamos la conservación de la energía cinética, la cual calculamos usando\(K=\frac{1}{2} m v^{2}= \frac{p^{2}}{2m}\):

\[\frac{\overline{p}_{1, \mathrm{i}}^{2}}{2 m_{1}}+\frac{\overline{p}_{2, \mathrm{i}}^{2}}{2 m_{2}}=\frac{\overline{p}_{1, \mathrm{f}}^{2}}{2 m_{1}}+\frac{\overline{p}_{2, \mathrm{f}}^{2}}{2 m_{2}}\]

\[\frac{\mu^{2} \overline{v}_{\text { rel, i }}^{2}}{2 m_{1}}+\frac{\mu^{2} \overline{v}_{\text { rel, i }}^{2}}{2 m_{2}}=\frac{\mu^{2} \overline{\nu}_{\text { rel, f }}^{2}}{2 m_{1}}+\frac{\mu^{2} \overline{v}_{\text { rel, f }}^{2}}{2 m_{2}}\]

\[\overline{v}_{\text { rel, i }}^{2}=\overline{v}_{\text { rel, f }}^{2}\]

Encontramos que o bien\(\overline{v}_{\mathrm{rel}, \mathrm{f}}=\overline{v}_{\mathrm{rel}, \mathrm{i}}\), en cuyo caso no habría colisión (ya que nada cambia), o\(\overline{v}_{\mathrm{rel}, \mathrm{f}}=-\overline{v}_{\mathrm{rel}, \mathrm{i}}\), lo que significa que en una colisión elástica en el marco COM, las velocidades (y momentos) de las partículas colisionantes se invierten. Obtenemos:

\[\overline{v}_{1, \mathrm{f}}=-\overline{v}_{1, \mathrm{i}}=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(v_{1, \mathrm{i}}-v_{2, \mathrm{i}}\right)=-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{\mathrm{rel}, \mathrm{i}}\]

\[\overline{v}_{2, \mathrm{f}}=-\overline{v}_{2, \mathrm{i}}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(v_{2, \mathrm{i}}-v_{1, \mathrm{i}}\right)=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{\mathrm{rel}, \mathrm{i}}\]

Por supuesto, podemos transformar estas expresiones de nuevo al marco de laboratorio agregando la velocidad del centro de masa (\ ref {vcm}), que da las ecuaciones (4.7.7) y (4.7.8), lo mismo que nuestro cálculo en el marco de laboratorio.

³ Ecuaciones (\ ref {partícula1}) y (\ ref {particle2}) se mantienen en múltiples dimensiones también.

⁴ Dado que el impulso total en el marco COM es cero, a veces también se le conoce como el marco de impulso cero.