5.E: Movimiento Rotacional, Torsión y Momentum Angular (Ejercicios)

5.1 La Figura 5.E.1 muestra dos taladros manuales.

1. ¿Con cuál de las dos brocas que se muestran en la Figura 5.E.1 podrá ejercer un mayor torque sobre la broca?
2. ¿Con cuál de los dos taladros que se muestran en la Figura 5.E.1 podrá ejercer una mayor velocidad de rotación?

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos taladros manuales. a) Un aparato ortopédico [16], CC BY-SA 3.0. b) Un taladro batidor de huevos [17].

5.2 Una máquina de Atwood consta de dos masas\(m_1\) y\(m_2\), conectada por una cuerda que pasa sobre una polea. Si la polea es un disco de radio R y masa M, encuentre la aceleración de las masas.

5.3 Sostendrás una pluma uniforme con una masa de 25.0 g horizontal con tu pulgar empujando hacia abajo en un extremo y tu dedo índice empujando hacia arriba 2.0 cm de tu pulgar. El bolígrafo mide 14 cm de largo.

1. ¿Cuál de tus dedos ejerce la mayor fuerza?
2. Encuentra a las dos fuerzas.

5.4 Se construye una rueda de vagón como se muestra en la siguiente figura. El radio de la rueda es R. Cada uno de los radios que se encuentran a lo largo del diámetro tiene una masa m, y la llanta tiene masa M (puede suponer que el grosor de la llanta y los radios son insignificantes en comparación con el radio R).

1. ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda alrededor de un eje a través del centro, perpendicular al plano de la rueda (figura a)?
2. Para la misma rueda, ¿cuál es el momento de inercia para un eje a través del centro y dos de los radios, en el plano de la rueda (figura b)?

5.5 Una esfera con radio R=0.200 m tiene una densidad\(\rho\) que disminuye con la distancia r del centro de la esfera, según\(\rho(r)=a-b r\), donde\(a=1.00 \cdot 103 kg/m^3\) y\(b=4.00 \cdot 103 kg/m^4\).

a) Calcular la masa total de la esfera.

(b) Calcular el momento de inercia de la esfera para un eje a través de su centro.

5.6 Un yoyo de 0.10 kg tiene un radio exterior R que es 5.0 veces mayor que el radio r de su eje. El yoyo está en equilibrio si una masa m está suspendida de su borde exterior, como se muestra en la Figura 5.E.1. Encuentra las tensiones\(T_1\) y\(T_2\) en las dos cuerdas, y la masa m.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un yoyo con una masa suspendida de su borde exterior.

5.7 Una mesa consta de tres piezas: una mesa que es un disco circular de radio R, espesor d=R/50, y masa M; una sola pata que sostiene el tablero de mesa en su centro y consiste en un cilindro hueco de altura H=R/2 y masa M=m/5, y un pie, que consiste en un cilindro macizo de radio R/3, masa M y altura H=r/4.

1. Encuentra la posición del centro de masa de esta mesa.
2. ¿Con qué fuerza debes empujar hacia abajo en el borde de la mesa para que se vuelque?
3. Sobre la mesa se coloca una piedra de masa M=m/2. ¿Qué tan lejos del centro se puede colocar antes de que la mesa se vuelque? Se puede aproximar la piedra como una masa puntual.

5.8 En un sistema de coordenadas se coloca un trasportador cuadrado de plástico con densidad\(\rho = 1.2 g/cm^3\), grosor 2.0 mm y lados de 10 cm en un sistema de coordenadas como se muestra en la figura. El eje z (no mostrado) está saliendo del papel.

1. Encuentra la posición del centro de masa del traslador.
2. Encuentra el momento de inercia del transportador al girarlo a lo largo del eje y.
3. Encuentra el momento de inercia del trasportador al girarlo a lo largo del eje z (es decir, el eje a través del origen y perpendicular al plano XY).
4. Encuentra el momento de inercia del trasportador al girarlo a lo largo de un eje a través de su centro de masa, y paralelo al eje z (es decir, perpendicular al plano XY).
5. Recoges el transportador y lo equilibras en tu dedo en su centro de masa. Luego toca uno de los puntos con una pequeña fuerza F, dirigida en el plano del transportador. ¿Para cuál de las tres fuerzas que se muestran en la figura b es la velocidad de rotación que el transportador obtiene la mayor? (Como siempre, explique su respuesta; la magnitud de las tres fuerzas es la misma, los tres ángulos indicados son todos 45\(^{\circ}\)).
6. Traes a tres amigos, quienes ahora empujan sobre el trasportador por las direcciones indicadas por\(F_1, F_2\) y\(F_3\) en la figura. Si\(F_1\) y\(F_2\) son ambos 1.0 N, ¿qué tan grande debe\(F_3\) ser para que el transportador no se mueva?

5.9 En este problema, consideramos un objeto que consiste en un marco con cuatro bolas, como se representa en la siguiente figura. Cada una de las bolas tiene un radio R=5.0 cm. Sus masas son\(m_A=3.0 kg, m_B=3.0 kg, m_C=2.0 kg\) y\(m_D=1.0 kg\). Las varillas del marco (que van desde el borde de una bola hasta el borde de la siguiente) tienen longitudes\(L_1=20 cm\)\(L_2=30 cm\) y una densidad lineal\(\lambda=10 g/cm\). (La distancia entre los centros de las bolas A y B es así de 30 cm, y entre los centros de las bolas B y C es de 40 cm). El grosor de las varillas es insignificante. Utilizamos el marco xyz indicado en la figura, con un eje z saliendo del papel en el origen.

1. Encuentra la posición del centro de masa del objeto.
2. Encuentra el momento de inercia del objeto con respecto a las rotaciones alrededor del eje.
3. Aplicamos un par de 10 Nm para establecer el objeto girando alrededor de su eje. Calcular la magnitud de la velocidad angular resultante.
4. Encuentra el momento de inercia del objeto con respecto a las rotaciones alrededor de un eje a través de su centro de masa, y paralelo al eje.
5. Encuentra el momento de inercia del objeto con respecto a las rotaciones alrededor de un eje a través de su centro de masa, y paralelo al eje z.

5.10 Tres barras uniformes con densidad lineal (es decir, masa por unidad de longitud)\(\lambda\) se sueldan juntas en forma de triángulo isósceles con lados de longitud 5L, 5L y 6L (figura a).

El momento de inercia de una varilla con masa m y longitud L alrededor de un eje que atraviesa uno de sus extremos en ángulo\(\theta\) con la propia varilla (figura b) viene dado por

\[I_{\mathrm{bar}}=\frac{1}{3} m L^{2} \sin ^{2} \theta\]

1. Encuentra la posición del centro de masa del triángulo.
2. Encuentra el momento de inercia del triángulo alrededor de su eje de simetría. Para ello, puede utilizar la expresión dada para el momento de inercia de una barra en ángulo.
3. Encuentra el momento de inercia del triángulo alrededor de su lado más largo.
4. Encuentra el momento de inercia del triángulo alrededor del eje a través de su centro de masa, perpendicular al plano del triángulo. Utilice los teoremas comprobados en esta sección para hacerlo.
5. ¿Son estables las rotaciones de este triángulo alrededor de su eje de simetría?
6. [Desafiante] Derivar la expresión dada para el momento de inercia de la varilla bajo un ángulo.

5.11 Consideramos el mismo escenario que en el ejemplo trabajado en la Sección 5.8. Un cilindro masivo con masa m y radio R rueda sin deslizarse por un plano inclinado en ángulo\(\theta\) (ver figura a). El coeficiente de fricción (estática) entre el cilindro y el plano es\(\mu\).

1. Encuentra el ángulo más grande\(\theta\) para el cual el cilindro no se desliza.
2. Supongamos ahora que aceleramos el plano hacia arriba (a lo largo de su dirección) con la aceleración a, véase la figura b. ¿Para qué valor de a no se mueve el centro de masa del cilindro? (Puede suponer que el cilindro aún no se desliza).

5.12 Consideramos una rueda con masa m y radio R que rueda sin deslizarse sobre un plano plano (problemas a y b) e inclinado (problemas c-i).

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la rueda rodando sobre una superficie horizontal (figura a). Indique también el vector de velocidad (lineal)\(\boldsymbol{v}\) de la rueda.
2. ¿Cuánto trabajo se realiza por la fuerza de fricción en la rueda? ¿Qué efecto tiene este trabajo en la velocidad lineal y angular de la rueda?

Consideramos ahora el caso de que la rueda rueda hacia arriba un plano inclinado (ángulo\(\alpha\), ver figura b) con velocidad inicial\(v_0\).

3. Nuevamente dibuje un diagrama de cuerpo libre de la rueda e indique la velocidad lineal v.
4. Determinar la ecuación de movimiento tanto para la velocidad lineal como para la velocidad de rotación de la rueda (es decir, aplicar la segunda ley de Newton al movimiento de traslación y rotación de la rueda). Para este problema, se puede describir la rueda como un anillo cilíndrico (y así ignorar la masa de los radios).
5. Resolver las ecuaciones de movimiento de (12d) para obtener la aceleración lineal de la rueda.
6. A partir de las ecuaciones de movimiento, determinar la magnitud y la dirección de la fuerza de fricción que actúa sobre la rueda.
7. Determinar la energía total de la rueda.
8. Tomar la derivada de la energía total del problema (12g) para volver a llegar a una ecuación de movimiento para la rueda.
9. ¿Se conserva la energía de la rueda rodando por la pendiente? ¿La fuerza de fricción hace algún trabajo en este caso?

5.13 Consideramos un cono sólido de densidad uniforme\(\rho\), altura h y radio base R.

Figura\(\PageIndex{2}\): Croquis del cono. a) Dimensiones. (b) Ángulo de inclinación\(\theta\).

1. Tomando el origen para estar en el centro de la base, y el eje de simetría a lo largo del eje z (vertical), muestran que el centro de masa del cono se ubica en (0, 0, h/4). Sugerencia: considera el cono como una pila de discos y elige tu origen cuidadosamente.
2. ¿Sobre qué ángulo máximo puedes inclinar el cono de tal manera que simplemente no se caiga?
3. Dibuje cualitativamente el paisaje energético potencial\(U(\theta)\) del cono en función de este ángulo de inclinación\(\theta\). Indicar los puntos estacionarios y su estabilidad. Supongamos que el cono es estrecho, es decir, el radio de la base es menor que un cuarto de la altura.
4. Volviendo a la posición vertical, muestran que el momento de inercia del cono alrededor de su eje de simetría viene dado por\(I = \frac{3}{10}MR^2\), donde M es la masa total del cono.
5. Considera un cono que mide 100 cm de alto, tiene un radio base de 20 cm y una densidad de masa de 700\(kg/m^3\). Si el cono está parado con su base sobre una superficie perfectamente resbaladiza (sin fricción), y quieres ponerlo girando a 1 revolución por minuto, a partir del descanso, ¿cuánto trabajo tienes que hacer?

5.14 Un palo de hockey de masa ms, longitud L, y momento de inercia (con respecto a su centro de masa) I0 está en reposo sobre el hielo (que suponemos que no tiene fricciones). Un disco con masa mp golpea el palo a una distancia D desde el centro (es decir, centro de masa) del palo. Antes de la colisión, el disco se desplazaba con velocidad\(v_0\) en dirección perpendicular al palo, como se indica en la figura. La colisión es completamente inelástica, y el disco permanece unido al palo después de la colisión.

1. Encuentra la velocidad\(v_f\) del centro de masa de la combinación stick + puck después de la colisión, en términos de\(v_0, m_p, m_s,\) y\(L\).
2. Después de la colisión, el palo y el disco girarán alrededor de su centro de masa combinado, que se encuentra a una distancia b del centro de masa del palo. Encontrar b.
3. ¿Cuál es el momento angular\(L_cm\) del sistema antes de la colisión, con respecto al centro de masa del sistema final? Usa tu respuesta en (b) para eliminar el valor de b de tu respuesta.
4. ¿Cuál es la velocidad angular\(\omega\) de la combinación stick + puck después de la colisión? Su respuesta debe ser independiente de la variable b.
5. ¿Se conservan la energía cinética, el momento lineal y el momento angular en esta colisión?

5.15 Consideramos la misma situación que en el problema 5.14, pero ahora la colisión es totalmente elástica. Encuentra la velocidad de la pelota después de la colisión, así como la velocidad de traslación y rotación del palo después de la colisión. Pista: Tienes que resolver por tres incógnitas, entonces necesitas tres ecuaciones - ¿qué son?

5.16 En la mitología griega Sísifo por vida era el rey de Ephyra (Corinto). Después de morir, fue castigado por su astucia y engaño autoengrandecientes en el Tártaro (infierno griego) al verse obligado a rodar una inmensa roca por una colina solo para que ruede hacia abajo cuando se acerca a la cima, repitiendo esta acción por toda la eternidad. Tomamos la roca original para tener un diámetro de 1.00 m y una masa de 2000 kg; el cerro mide 1.00 km de altura y tiene una pendiente de\(30^{\circ}\).

1. Supongamos que Sísifo de alguna manera logró reemplazar esta roca por una hecha de aerogel con una masa de solo 1.0 kg cubierta por una fina capa de roca que también tiene una masa de 1.0 kg. Para ocultar su engaño, sigue caminando cuesta arriba lentamente, y patea la roca cuando vuelve a 'resbalar' hacia abajo. ¿Qué velocidad debe darle Sísifo a la roca falsa de tal manera que tenga la misma velocidad en el fondo que tendría la roca real? Se puede suponer que ambas rocas ruedan todo el camino hacia abajo sin resbalar.
2. Hades, al no ser divertido con el engaño de Sísifo en la parte (a), decide devolverle usando sus propias medidas. Manda a Sísifo a Helheim (infierno nórdico), atado a la roca original, a la que patea tan fuerte que alcanza velocidad de escape (11.2 km/s) a la vez que gira a una velocidad de 1.0 revoluciones por segundo. ¿Cuánta energía puso Hades en la roca (puedes ignorar la masa de Sísifo, de todos modos es un fantasma)?
3. Hel, el gobernante de Helheim, tampoco lo quiere, así que recoge la culata de un dolmen, con una masa diez veces mayor que la de la roca de Sísifo, y la lanza hacia el Sísifo que se aproxima. Al pasar, Hel lanza lo suficientemente fuerte como para que después de la colisión, Sísifo (ahora atrapado entre las dos rocas) esté girando en su lugar. ¿Qué tan rápido tiró Hel su piedra?
4. ¿A qué velocidades angulares giran Sísifo y sus dos rocas después de la colisión?
5. Dante finalmente encuentra un lugar para Sísifo en Inferno (infierno cristiano). Para llevarlo allí, primero necesita quitarle la piedra final. Piadándose de Sísifo, Dante desea hacerlo de tal manera que la roca original deje de girar. Se para sobre la roca de Sísifo, empujando sobre la piedra final. ¿Qué par debe ejercer sobre esa piedra para detener la roca de Sísifo?
6. Dante luego ata una cuerda de 100 km de largo a la roca, que en el otro extremo está conectada a Lucifer (abajo en el centro de Inferno). Lucifer luego acarrea la cuerda, con una velocidad de 1.0 m/s Desafortunadamente para Sísifo, la remoción de la culata, aunque le ha impedido girar, ha resultado en que obtenga una pequeña velocidad lineal de 1.0 cm/s en la dirección perpendicular a la cuerda. Cuando Lucifer ha acarreado suficiente cuerda para poner a Sísifo en el cuarto círculo del Infierno a unos 5 km de él mismo, ¿cuál es la velocidad angular de la roca de Sísifo?

5.17 Dos niños, con masas\(m_1 = 10 kg\) y\(m_2 = 10 kg\) sentados en un sencillo tiovivo que consiste en un disco masivo con una masa de 100 kg y un radio de 2.0 m. El disco puede girar libremente alrededor de su centro, y lo está haciendo a una frecuencia\(\omega _0\) de 5.0 revoluciones por minuto. Un tercer niño con masa\(m_3 = 10 kg\) corre hacia el carrusel con una velocidad\(v_0\) de 1.0 m/s, en un ángulo de\(30^{\circ}\) con la tangente al borde del carrusel (ver figura). Una vez que llega al tiovivo, el niño salta sobre él, y continúa rotando con los otros dos. Encuentra la velocidad de rotación resultante del tiovivo con los tres niños.