5.9: Precesión y Nutación

La acción de un par provoca un cambio en el momento angular, expresado por la Ecuación 5.7.1. Un caso especial surge cuando el par es perpendicular al momento angular: en ese caso el cambio afecta solo la dirección del vector de momento angular, no su magnitud. Dado que el par viene dado por el producto transversal del brazo y la fuerza, este caso surge cuando el momento angular es paralelo a cualquiera de los brazos o fuerza, o más generalmente, se encuentra en el plano abarcada por la fuerza y el brazo. Como resultado, el vector de momento angular puede comenzar a girar alrededor de un eje fijo, un proceso conocido como precesión. Debido a la acción de una segunda fuerza (con par asociado), el ángulo entre el vector de momento angular y el eje fijo (que llamaremos eje z) también puede cambiar, un proceso conocido como nutación.

Figura\(\PageIndex{1}\): Precesión de una peonza. La parte superior gira alrededor de un eje que forma un ángulo\(\phi\) con el eje z vertical. El momento angular de la parte superior es paralelo al vector de rotación. El brazo entre el pivote (donde la parte superior toca la superficie de soporte) y el centro de masa también es paralelo al momento angular. En consecuencia, el par de torsión de la fuerza gravitacional (que como siempre apunta hacia abajo desde el centro de masa) es perpendicular al momento angular, y hace que este preceda alrededor del eje z con una frecuencia de precesión\(\omega _p\).

El ejemplo más simple de un sistema de precesión es el de una capota rotacionalmente simétrica, girando alrededor de un eje que no es el eje z vertical, (Figura\(\PageIndex{1}\)). En este caso, el brazo de fuerza gravitacional (apuntando desde el pivote en el origen hasta el centro de masa de la parte superior) es paralelo al momento angular, que a su vez es paralelo al vector de rotación, como\(\boldsymbol{L}=I \boldsymbol{\omega}\). El par de gravedad es así perpendicular al momento angular. Si llamamos al ángulo entre\(\boldsymbol{L}\) y el eje z\(\phi\), y trabajamos en coordenadas cilíndricas\((\rho, \theta, z)\), podemos escribir\(\boldsymbol{L}=L_{x y} \hat{\boldsymbol{\rho}}+L_{z} \hat{z}, \text { where } L_{x y}=L \sin \phi\) es la proyección de\(\boldsymbol{L}\) en el plano XY, y\(\hat{\boldsymbol{\rho}}\) es el vector de unidad radial en el plano XY (i.e.,\(\hat{\boldsymbol{\rho}}=\cos \theta \hat{\boldsymbol{x}}+\sin \theta \hat{\boldsymbol{y}}\)). El par gravitacional viene dado entonces por:

\[\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{Z}}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}_{\mathrm{Z}}=m g r \sin \phi \hat{\boldsymbol{\theta}} \label{gravtorque}\]

donde\(\boldsymbol{r}\) es el brazo apuntando desde el origen hasta el centro de masa, r su longitud, y\(\hat{\boldsymbol{\theta}}\) el vector de unidad angular en el plano xi (i.e.,\(\hat{\boldsymbol{\theta}}=-\sin \theta \hat{\boldsymbol{x}}+\cos \theta \hat{\boldsymbol{y}}\)). Por el tiempo derivado de\(\boldsymbol{L}\), obtenemos:

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{L}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} L_{x y}}{\mathrm{d} t} \hat{\boldsymbol{\rho}}+L_{x y} \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}+\frac{\mathrm{d} L_{z}}{\mathrm{d} t} \hat{\boldsymbol{z}} \label{dLdt}\]

donde usamos (Ecuación A.8)

\[\frac{\mathrm{d} \hat{\boldsymbol{\rho}}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \hat{\boldsymbol{\rho}}}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}\]

Equiparando\ ref {gravtorque} y\ ref {dldT}, encontramos eso\(\frac{dL_{xy}}{dt}=\frac{dL_z}{dt}=0\), y

\[\omega_{\mathrm{p}} \equiv \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\frac{m g r \sin \phi}{L_{x y}}=\frac{m g r}{I \omega} \label{frequency}\]

La ecuación\ ref {frequency} nos da la frecuencia de la precesión alrededor del eje z. El vector de rotación de precesión asociado viene dado por\(\boldsymbol{\omega}_{\mathbf{p}}=\omega_{\mathbf{p}} \hat{\boldsymbol{z}}\).

Donde la precesión, en términos de los ángulos utilizados en esta sección, representa un cambio en\(\theta\), la nutación se asocia con un cambio en el ángulo de inclinación\(\phi\). Se produce en varios casos, más comúnmente debido a la acción de una segunda fuerza, y a menudo resulta en un movimiento periódico (de ahí la nutación del nombre, 'asintiendo'). Un ejemplo es el cambio en el eje de la Tierra. Como el eje no es perpendicular al plano de la órbita de la Tierra (actualmente forma un ángulo de aproximadamente 23.4◦), la gravedad del sol ejerce un par neto sobre el eje de rotación de la Tierra, haciendo que ésta preceda con un periodo de aproximadamente 25000 años. En consecuencia, la estrella polar actual sólo seguirá siendo la estrella polar durante un par de siglos. Debido a los pares que ejerce la luna y los otros planetas, el eje de la Tierra también nuta -con amplitudes desde segundos de arco hasta algunos grados, y periodos que van ampliamente, desde 18.6 años debido a la atracción gravitacional de la luna hasta milenios debido a otros efectos.