8.1: Movimiento Oscilatorio

Oscilador armónico

Ya hemos encontrado dos ejemplos de movimiento oscilatorio: el movimiento rotacional del Capítulo 5 y el sistema de masa sobre resorte en la Sección 2.3 (ver Figura 1.1.1). Este último es el oscilador por excelencia de la física, conocido como el oscilador armónico. Resumiendo brevemente, obtenemos su ecuación de movimiento al considerar una masa\(m\) que está siendo jalada por un resorte ideal sin masa de constante de resorte\(k\). Equiparando la fuerza de resorte resultante (ley de Hooke) con la fuerza neta en la segunda ley de movimiento de Newton, obtenemos:

\[m \ddot{x}=-k x \label{hookes}\]

El oscilador armónico se caracteriza por su frecuencia natural\(\omega _0\):

\[\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

como sigue fácilmente por argumentos dimensionales (o, por supuesto, resolviendo la ecuación diferencial). Debido a que la Ecuación\ ref {hookes} es de segundo orden, su solución tiene dos incógnitas; además, como tiene que ser menos su propia derivada vemos fácilmente que debe ser una combinación lineal de senos y cosenos (para una derivación formal, ver Apéndice A.3.2). Podemos escribir la solución de dos maneras diferentes:

\[\begin{align} x(t) &=x(0) \cos \left(\omega_{0} t\right)+\frac{v(0)}{\omega_{0}} \sin \left(\omega_{0} t\right) \\ &=A \cos \left(\omega_{0} t+\phi\right) \end{align}\]

donde la fase\(\phi\) es dada por\(\tan \phi=-\frac{1}{\omega} \frac{v(0)}{x(0)}\) y la amplitud\(A\) por\(A=\frac{x(0)}{\cos \phi}\). Como era de esperar, como ambos son movimientos periódicos simples, existe una relación directa entre un oscilador armónico con frecuencia natural\(\omega _0\), y un punto en un disco que gira con velocidad angular uniforme\(\omega _0\) en el plano XY - el movimiento del oscilador armónico es el del disco proyectado en el eje x (o y).

Oscilador Torsional

Un oscilador torsional es el análogo rotacional de un oscilador armónico - imagina un disco con momento de inercia\(I\) suspendido por una cuerda sin masa, sin fricción que tiene una constante de torsión\(\kappa\), es decir, la fuerza para torcer la cuerda viene dada por\(F=-\kappa \theta\), con\(\theta\) el ángulo de torsión. Al invocar el análogo rotacional de la segunda ley del movimiento de Newton, Ecuación 5.4.1, encontramos fácilmente para la ecuación de movimiento del oscilador torsional:

\[I \ddot{\theta}=-\kappa \theta\]

entonces el oscilador torsional de hecho es el análogo rotacional exacto del oscilador armónico, y tiene una frecuencia natural de\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}\)

Christiaan Huygens

Christiaan Huygens (1629-1695) fue un físico y astrónomo holandés, y una de las principales figuras de la revolución científica. Huygens inventó el reloj de péndulo en 1656, que revolucionó el cronometraje y siguió siendo el reloj más preciso durante 300 años. Huygens también fue el primero en lanzar las leyes de la física en forma matemática, escribiendo una versión temprana (cuadrática) de la segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación para la fuerza centrípeta (Eq. 5.2.1) y la forma correcta de las leyes de las colisiones elásticas (Sección 4.7). Al observar dos relojes de péndulo en la misma pared, Huygens observó que se sincronizaban (ver Sección 8.4). El estudio de Huygens sobre la óptica lo llevó a formular la teoría de ondas de la luz, que puede predecir correctamente la difracción de luz. En astronomía, descubrió la primera característica en la superficie de Marte, la luna más grande de Saturno (Titán), y que los 'cambios de forma' previamente observados de Saturno se debían a la presencia de sus anillos. La sonda Huygens que aterrizó en Titán en 2005 fue nombrada muy apropiadamente en su honor.

Figura\(\PageIndex{1}\): 1671 retrato de Huygens de Caspar Netscher [23].

Péndulo

Un péndulo es un objeto que está suspendido en una clavija horizontal a través de cualquier punto que\(x_{\mathrm{P}}\) no sea su centro de masa\(x_{\mathrm{CM}}\) (no oscilará si lo anclas en el centro de masa). Si se tira del centro de masa del péndulo hacia los lados, la gravedad ejercerá un par alrededor de la posición de la clavija, tirando del péndulo hacia abajo. Si la distancia entre\(x_{\mathrm{P}}\) y\(x_{\mathrm{CM}}\) es\(L\), y la línea que los conecta forma un ángulo\(\theta\) con el paso vertical\(x_{\mathrm{P}}\), entonces el par ejercido por gravedad alrededor de\(x_{\mathrm{P}}\) iguales\(-m g L \sin \theta\), donde como de costumbre m es la masa del péndulo. Ahora invocando nuevamente la Ecuación 5.4.1, podemos escribir para la ecuación de movimiento del péndulo (con I su momento de inercia sobre\(x_{\mathrm{P}}\)):

\[I \ddot{\theta}=-m g L \sin \theta \label{pendulum}\]

Desafortunadamente no podemos resolver la Ecuación\ ref {péndulo}. Para ángulos pequeños sin embargo, podemos Taylor-expandir el seno, y escribir\(\sin \theta \approx \theta\), lo que nos lleva de vuelta a la ecuación del oscilador armónico. De eso encontramos que para este péndulo (llamado péndulo físico), la frecuencia natural es\(\omega_{0}=\sqrt{\frac{m g L }{I}}\). Para el caso especial de que el péndulo consiste en una masa\(m\) suspendida en una cuerda sin masa de longitud\(L\) (el péndulo simple), tenemos\(I = mL^2\) y así\(\omega _0 = \sqrt{g}{L}\).

Oscilaciones en un panorama energético potencial

La energía potencial asociada a una masa en un resorte tiene una forma muy simple:\(U_{\mathrm{s}}(x)=\frac{1}{2} k x^{2}\) (ver Ecuación 3.3.7). El paisaje energético potencial de un oscilador armónico tiene así la forma de una parábola. Ahora esa es una forma que encontramos muy a menudo: la forma de casi todos los paisajes aproximadamente un mínimo se asemeja mucho a una parábola ¹. Para ver por qué este es el caso, simplemente Taylor-expandir la energía potencial sobre un mínimo en\(x_0\): porque la función tiene un mínimo en\(x_{0}, U^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\), y la expansión Taylor da

\[U(x)=U\left(x_{0}\right)+\frac{1}{2} U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) x^{2}+\mathscr{O}\left(x^{3}\right) \label{poteland}\]

Alrededor de un mínimo en la energía potencial, cualquier energía potencial se asemeja así a la de un oscilador armónico. Cualquier partícula colocada en tal paisaje energético potencial cercano a un mínimo (es decir, una partícula sobre la que una fuerza actúa cerca del punto donde la fuerza desaparece) tenderá, por lo tanto, a oscilar. Al comparar la ecuación\ ref {poteland} con la energía potencial del oscilador armónico, podemos leer inmediatamente que el movimiento oscilatorio resultante es idéntico al de un oscilador armónico con constante elástica\(k=U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\). Una partícula liberada cerca de un mínimo de la energía potencial oscilará así con una frecuencia\(\omega=\sqrt{U^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) / m}\).

¹ La única excepción son las funciones de la forma\(x^{2n}\) para n > 1.