9.2: La Ecuación de Onda

Como ocurre con todos los fenómenos en la mecánica clásica, el movimiento de las partículas en una ola, por ejemplo las masas sobre resortes en la Figura 9.1.1, se rigen por las leyes del movimiento de Newton y las diversas leyes de fuerza. En esta sección utilizaremos estas leyes para derivar una ecuación de movimiento para la propia onda, la cual se aplica de manera bastante general a los fenómenos de las olas. Para ello, considere una serie de partículas de igual masa\(m\) conectadas por resortes de constante elástica\(k\), nuevamente como en la Figura 9.1.1a, y supongamos que en reposo la distancia entre dos masas cualesquiera es h. Deje que la posición de la partícula\(i\) sea\(x\), y\(u\) la distancia a esa partícula está lejos de su posición de reposo; entonces\(u=x_{\text {rest }}-x\) es una función tanto de la posición\(x\) como del tiempo\(t\). Supongamos que la partícula se\(i\) ha movido hacia la izquierda, entonces sentirá una fuerza restauradora hacia la derecha debido a dos fuentes: el resorte comprimido a su izquierda y el resorte extendido a su derecha.La fuerza total a la derecha viene dada entonces por:

\[\begin{align} F_{i} &=F_{i+1 \rightarrow i}-F_{i-1 \rightarrow i} \\ &=k[u(x+h, t)-u(x, t)]-k[u(x, t)-u(x-h, t)] \\ &=k[u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)] \label{9.3} \end{align}\]

La ecuación\ ref {9.3} da la fuerza neta sobre la partícula\(i\), que por la segunda ley de movimiento de Newton (Ecuación 2.1.5) es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración. La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición\(x\), pero como la posición de equilibrio es una constante, también es la segunda derivada temporal de la distancia desde la posición de equilibrio\(u(x,t)\), y tenemos:

\[F_{\mathrm{net}}=m \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=k[u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)] \label{9.4}\]

Ecuación\ ref {9.4} se mantiene para partícula\(i\), pero igual de bien para partícula\(i+1\), o\(i-10\). Podemos obtener una ecuación para\(N\) partículas simplemente agregando sus ecuaciones individuales, lo cual podemos hacer porque estas ecuaciones son lineales.Así encontramos para una cadena de partículas de longitud\(L=Nh\) mano masa total\(M=N m\):

\[\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=\frac{K L^{2}}{M} \frac{u(x+h, t)-2 u(x, t)+u(x-h, t)}{h^{2}} \label{9.5}.\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Onda transversal sinusoidal en el espacio (a) y el tiempo (b). La distancia entre dos máximos sucesivos (o cualesquiera dos puntos sucesivos con igual fase es la longitud\(\lambda\) de onda de la onda. El desplazamiento máximo es la amplitud A, y el tiempo que tarda un solo punto en pasar por una oscilación completa es el periodo T.

Aquí\(K = k/N\) está la constante elástica efectiva de los N resortes en serie. Ahora mira de cerca la fracción del lado derecho de la Ecuación\ ref {9.5}: si tomamos el límite\(h \rightarrow 0\), esta es la segunda derivada de\(u(x,t)\) con respecto a x Sin embargo, tomar\(h\) a cero también lleva\(L\) a cero -lo que podemos contrarrestar tomando simultáneamente\(N \rightarrow \infty\), de tal manera que su producto L siga siendo el mismo. Con lo que terminamos es una cadena de infinitamente muchas partículas conectadas por infinitamente muchos resortes, por lo que un continuo de partículas y resortes, para lo cual la ecuación de movimiento viene dada por la ecuación de onda:

\[\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}}=v_{\mathrm{w}}^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} \label{9.6}\]

En la Ecuación\ ref {9.6},\(v_{\mathrm{w}}=\sqrt{\frac{K L^{2}}{M}}\) (a veces también denotada por c) es la velocidad de onda.

Para una onda en una cuerda tensa, la descripción unidimensional es precisa, y podemos relacionar nuestras cantidades\(K, L\) y\(M\) con propiedades más familiares de la cuerda: su tensión\(T = KL\) con la dimensión de una fuerza (esto es simplemente la ley de Hooke nuevamente) y su masa por unidad de longitud\(\mu = \frac{M}{L}\), entonces nosotros obtener

\[v_{\mathrm{string}}=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\]

En dos o tres dimensiones, la derivada espacial en la Ecuación\ ref {9.6} se convierte en un operador laplaciano, y la ecuación de onda viene dada por:

\[\frac{\partial^{2} u(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t^{2}}=v_{\mathrm{w}}^{2} \nabla^{2} u(\boldsymbol{x}, t) \label{9.8}\]

Como se puede ver fácilmente escribiendo la Ecuación\ ref {9.8} en términos de coordenadas esféricas, si la onda es radial (es decir, solo depende de la distancia a la fuente\(r\), y no del ángulo), la cantidad\(ru(r)\) obedece a la ecuación de onda unidimensional, por lo que podemos anotar la ecuación para\(u(r)\) inmediatamente. Una aplicación importante son las ondas sonoras, que se propagan uniformemente en un medio uniforme. Para encontrar su velocidad, caracterizamos el medio de una manera similar a la que hicimos para la cuerda: tomamos la masa por unidad de volumen, que es simplemente la densidad\(\rho\), y el módulo volumétrico del medio, que es una medida de la resistencia del medio a la compresión (es decir, una especie de tridimensional análogo de la constante elástica), definida como:

\[B=-V \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} V}=\rho \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho}\]

donde\(p\) está la presión (fuerza por unidad de área) y\(V\) el volumen. El módulo volumétrico también se denota a veces como\(K\). Las dimensiones del módulo volumétrico son las de una presión, o fuerza por unidad de área, y las de la densidad son masa por unidad de volumen, por lo que su relación tiene la dimensión de una velocidad al cuadrado, y la velocidad del sonido viene dada por:

\[v_{\text {sound }}=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\]

La ecuación\ ref {9.8} describe una onda caracterizada por un desplazamiento unidimensional (longitudinal o transversal) en tres dimensiones. En general una onda puede tener componentes de ambos, y el desplazamiento en sí mismo se convierte en una cantidad vectorial,\(\boldsymbol{u} (x,t)\). En ese caso, la ecuación de onda tridimensional adquiere una forma más compleja:

\[\rho \frac{\partial^{2} \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t^{2}}=\boldsymbol{f}+\left(B+\frac{4}{3} G\right) \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t))-G \nabla \times(\nabla \times \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, t)) \label{9.11}\]

donde\(\boldsymbol{f}\) está la fuerza impulsora (por unidad de volumen),\(B\) nuevamente el módulo aparente y\(G\) el módulo de cizallamiento del material. La ecuación\ ref {9.11} se utiliza para la descripción de las ondas sísmicas en la Tierra y las ondas ultrasónicas con las que se sondean materiales sólidos para detectar defectos.