13.2: Matriz de Transformación Lorentz y Tensor Métrico

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En esta sección, hemos unido el espacio y el tiempo en un solo cuatro vectores y hemos definido un nuevo producto interno en el espacio de esos cuatro vectores. En el Capítulo 11 definimos las transformaciones Lorentz de las coordenadas de espacio y tiempo, que son transformaciones lineales. Las transformaciones lineales pueden, por supuesto, ser representadas por matrices, y para nuestros cuatro vectores, podemos escribir la matriz de transformación de Lorentz apropiada, reescribiendo la ecuación (11.12) como una ecuación vectorial:

\[\overline{\boldsymbol{x}}^{\prime}=L \overline{\boldsymbol{x}}\label{13.2.1}\]

Aquí\(L\) hay una\(4 \times 4\) matriz:

\[L=\left( \begin{array}{cccc}{\gamma(u)} & {-\gamma(u) \frac{u}{c}} & {0} & {0} \\ {-\gamma(u) \frac{u}{c}} & {\gamma(u)} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right)\label{13.2.2}\]

Al igual que con los cuatro vectores, comenzamos a etiquetar las filas y columnas de\(L\) con índice 0. Para indicar la diferencia con matrices en el espacio regular, es convencional indicar índices de vectores de espacio regular y matrices con letras romanas (como\(\boldsymbol{v}_{i}\) para el componente\(i\) th del vector\(v\), y\(A_{i j}\) para la fila\(i\) th,\(j\) th columna de matriz\(A\)) , y los de los vectores Minkowski-espacio y matrices con letras griegas - así que escribimos\(x_{\mu}\) para el componente\(\mu\) th del cuatro vector\(\overline{\boldsymbol{x}}\), donde\(\mu\) puede ser 0, 1, 2 o 3.

También podemos escribir Ecuación\ ref {13.1} en forma de índice: