2.2: Sistema Internacional de Unidades

El sistema de unidades más comúnmente utilizado a lo largo de la ciencia y la tecnología hoy en día es el Système International (SI). Consta de siete cantidades base y sus correspondientes unidades base, que se muestran en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Sistema Internacional de Unidades

Cantidad Base	Unidad Base
Largo	metro (m)
Masa	kilogramo (kg)
Tiempo	segundo (s)
Corriente Eléctrica	amperio (A)
Temperatura	Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia	mol (mol)
Intensidad luminosa	candela (cd)

Nos referiremos a la dimensión de la cantidad base por la cantidad misma, por ejemplo\[ \text { dim length } \equiv \text { length } \equiv \mathrm{L}, \text { dim mass } \equiv \text { mass } \equiv \mathrm{M}, \text { dim time } \equiv \text { time } \equiv \mathrm{T.} \nonumber \]

La mecánica se basa solo en las tres primeras de estas cantidades, el sistema MKS o metro- kilogramo-segundo. Un sistema métrico alternativo, aún ampliamente utilizado, es el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo).

Masa estándar

La unidad de masa, el kilogramo (kg), sigue siendo la única unidad base en el Sistema Internacional de Unidades (SI) que aún se define en términos de un artefacto físico, conocido como el “Prototipo Internacional del Kilogramo Estándar”. George Matthey (de Johnson Matthey) realizó el prototipo en 1879 en forma de cilindro, de 39 mm de alto y 39 mm de diámetro, consistente en una aleación de 90% de platino y 10% de iridio. El prototipo internacional se conserva en el Bureau International des Poids et Mèsures (BIPM) en Sevres, Francia, en las condiciones especificadas por la 1ª Conférale Générale des Poids et Mësures (CGPM) en 1889 cuando sancionó el prototipo y declaró “Este prototipo será considerado en lo sucesivo como el unidad de masa.” Se almacena a presión atmosférica en un frasco de campana triple especialmente diseñado. El prototipo se guarda en una bóveda con seis copias oficiales.

La 3ª Conférale Générale des Poids et Mésures CGPM (1901), en una declaración destinada a poner fin a la ambigüedad en el uso popular referente a la palabra “peso” confirmá que:

El kilogramo es la unidad de masa; es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Existe un estándar de acero inoxidable de un kilogramo que se utiliza para comparaciones con masas estándar en otros laboratorios. En la práctica es más común citar un valor de masa convencional (o peso en el aire, medido con el efecto de flotabilidad), que la masa estándar. La masa estándar normalmente solo se usa en mediciones especializadas donde se almacenan copias adecuadas del prototipo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The International Prototype Kilogram

Para minimizar los efectos de la corrosión, el prototipo de platino-iridio kilogramo es un cilindro derecho con dimensiones elegidas para minimizar el área de superficie para un volumen fijo dado. El kilogramo estándar es una aleación de 90% de platino y 10% de iridio. La densidad de la aleación es\(\rho=21.56 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3} \). Con base en esta información,

1. determinar el radio del kilogramo prototipo, y
2. la relación entre el radio y la altura.

Solución

El volumen para un cilindro de radio r y altura h viene dado por\[V=\pi r^{2} h \nonumber \]

El área de superficie se puede expresar en función del radio r y el volumen constante V de acuerdo con\[A=2 \pi r^{2}+2 \pi r h=2 \pi r^{2}+\frac{2V}{r} \nonumber \]

Para encontrar el área de superficie más pequeña para un volumen fijo, minimice el área de superficie con respecto al radio configurando\[0=\frac{d A}{d r}=4 \pi r-\frac{2 V}{r^{2}} \nonumber \]

que podemos resolver para el radio\[r=\left(\frac{V}{2 \pi}\right)^{1 / 3} \nonumber \]

Porque también sabemos eso\(V=\pi r^{2} h\), podemos reescribir la Ecuación (2.2.5) como\[r^{3}=\frac{\pi r^{2} h}{2 \pi} \nonumber \]

lo que implica que la relación entre el radio y la altura es\[\frac{r}{h}=\frac{1}{2} \nonumber \]

El kilogramo estándar es una aleación de\(90 \%\) platino e\(10 \%\) iridio. La densidad del platino es\(21.45 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\) y la densidad del iridio es\(22.55 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\). Así, la densidad del kilogramo estándar es\[ \rho=(0.90)\left(21.45 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)+(0.10)\left(22.55 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)=21.56 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3} \nonumber \]

y su volumen es\[V=m / \rho=(1000 \mathrm{g}) /\left(21.56 \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)=46.38 \mathrm{cm}^{3} \nonumber \]

Para la masa estándar, el radio es\[r=\left(\frac{V}{2 \pi}\right)^{1 / 3}=\left(\frac{46.38 \mathrm{cm}^{3}}{2 \pi}\right)^{1 / 3} \cong 1.95 \mathrm{cm} \nonumber \]

Debido a que el kilogramo prototipo es un artefacto, existen algunos problemas intrínsecos asociados con su uso como estándar. Puede estar dañado, o destruido. El prototipo gana átomos debido al desgaste ambiental y la limpieza, a una tasa de cambio de masa correspondiente a aproximadamente\(1 \mu \mathrm{g} / \text { year },\left(1 \mu \mathrm{g} \equiv 1 \text { microgram } \equiv 1 \times 10^{-6} \mathrm{g}\right).\)

Actualmente se están explorando varios enfoques nuevos para definir la unidad de masa del SI [kg]. Una posibilidad es definir el kilogramo como un número fijo de átomos de una sustancia en particular, relacionando así el kilogramo con una masa atómica. El silicio es un buen candidato para este enfoque porque se puede cultivar como un monocristal grande, en una forma muy pura.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Mass of a Silicon Crystal

Una celda unitaria estándar dada de silicio tiene un volumen\(V_{0}\) y contiene\(N_{0}\) átomos. El número de moléculas en un mol dado de sustancia viene dado por la constante de Avogadro\(N_{A}=6.02214129(27) \times 10^{23} \mathrm{mol}^{-1}\). La masa molar de silicio viene dada por\(M_{mol}\). Encuentra la masa\(m\) de un volumen\(V\) en términos de\(V_{0}\),\(N_{0}\),\(V\),\(M_{mol}\), y\(N_{A}\).

Solución

La masa\(m_{0}\) de la celda unitaria es la densidad\(rho\) de la celda de silicio multiplicada por el volumen de la celda\(V_{0}\),\[m_{0}=\rho V_{0} \nonumber \]

El número de moles en la celda unitaria es la masa total,\(m_{0}\), de la celda, dividida por la masa molar\(M_{mol}\)

\[n_{0}=m_{0} / M_{\mathrm{mol}}=\rho V_{0} / M_{\mathrm{mol}} \nonumber \]

El número de átomos en la celda unitaria es el número de moles por la constante de Avogadro\(N_{A}\),

\[N_{0}=n_{0} N_{A}=\frac{\rho V_{0} N_{A}}{M_{\mathrm{mol}}}\nonumber \]

La densidad del cristal está relacionada con la masa\(m\) del cristal dividida por el volumen\(V\) del cristal,

\[\rho= \dfrac{m}{V} \nonumber \]

El número de átomos en la celda unitaria se puede expresar como

\[N_{0}=\frac{m V_{0} N_{A}}{V M_{\mathrm{mol}}}\nonumber \]

La masa del cristal es

\[m=\frac{M_{\text {mol }}}{N_{A}} \frac{V}{V_{0}} N_{0}\nonumber \]

La masa molar, el volumen celular unitario y el volumen del cristal se pueden medir directamente. Observe que\(M_{\mathrm{mol}} / N_{A}\) es la masa de un solo átomo, y\(\left(V / V_{0}\right) N_{0}\) es el número de átomos en el volumen. Esta precisión del enfoque depende de qué tan precisa se pueda medir la constante de Avogadro. Actualmente, la medición de la constante Avogadro tiene una incertidumbre relativa de 1 parte in\(10^{8}\), lo que equivale a la incertidumbre en la presente definición del kilogramo.

El reloj atómico y la definición del segundo

Isaac Newton, en la Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (“Principios matemáticos de la filosofía natural”), distinguió entre el tiempo como duración y un concepto absoluto del tiempo,

“El tiempo absoluto verdadero y matemático, de sí mismo y de su propia naturaleza, fluye equitativamente sin relación con nada externo, y por otro nombre se llama duración: tiempo relativo, aparente y común, es alguna medida sensible y externa (ya sea exacta o inequiparable) de duración por medio del movimiento, que se usa comúnmente en lugar del tiempo verdadero; como una hora, un día, un mes, un año”.

El desarrollo de relojes basados en oscilaciones atómicas permitió medir el tiempo con precisión del orden de 1 parte en\(10^{14}\), correspondientes a errores de menos de un microsegundo (una millonésima de segundo) por año. Dada la increíble precisión de esta medición, y la clara evidencia de que los mejores cronometradores disponibles eran de naturaleza atómica, el segundo [s] fue redefinido en 1967 por el Comité Internacional de Pesos y Medidas como un cierto número de ciclos de radiación electromagnética emitida por el cesio átomos a medida que hacen transiciones entre dos estados cuánticos designados:

El segundo es la duración de 9,192,631,770 periodos de la radiación correspondientes a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Medidor

El metro [m] se definió originalmente como\(1/10,000,000\) del arco desde el Ecuador hasta el Polo Norte a lo largo del meridiano que pasa por París. Para ayudar en la calibración y facilidad de comparación, el medidor se redefinió en términos de una escala de longitud grabada en una barra de platino conservada cerca de París. Una vez que se diseñó la luz láser, el medidor fue redefinido por la 17a Conérence Générale des Poids et Mèsures (CGPM) en 1983 para ser un cierto número de longitudes de onda de un rayo láser monocromático particular.

El medidor es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 de un segundo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Light-Year

Las distancias astronómicas a veces se describen en términos de años luz [ly]. Un año luz es la distancia que recorrerá la luz en un año [año]. ¿Qué tan lejos en metros recorre la luz en un año?

Solución

Usando la relación\( (\text{distance}) =(\text { speed of light }) \cdot(\text { time })\), un año luz corresponde a una distancia. Debido a que la velocidad de la luz se da en términos de metros por segundo, necesitamos saber cuántos segundos hay en un año. Podemos lograr esto convirtiendo unidades. Sabemos que\[\text{1 year = 365.25 days, 1 day = 24 hours, 1 hour = 60 minutes, 1 minute = 60 seconds} \nonumber \]

Armando esto encontramos que el número de segundos en un año es\[\text { 1 year }=(365.25 \text { day })\left(\frac{24 \text { hours }}{1 \text { day }}\right)\left(\frac{60 \text { min }}{1 \text { hour }}\right)\left(\frac{60 \mathrm{s}}{1 \text { min }}\right)=31,557,600 \text { s } \nonumber \]

La distancia que recorre la luz en un año es\[1 \mathrm{ly}=\left(\frac{299,792,458 \mathrm{m}}{1 \mathrm{s}}\right)\left(\frac{31,557,600 \mathrm{s}}{1 \mathrm{yr}}\right)(1 \mathrm{yr})=9.461 \times 10^{15} \mathrm{m} \nonumber \]

La distancia a la estrella más cercana, una tenue estrella enana roja, Próxima Centauri, es de 4.24 ly.

Radianes

Considera el triángulo dibujado en la Figura\(\PageIndex{1}\). Las funciones trigonométricas básicas de un ángulo\(\theta\) en un triángulo recto ONB son\(\sin (\theta) = y / r\),\(\cos(\theta) = x / r\), y\(\tan(\theta) = y / x\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Relaciones trigonométricas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Es muy importante familiarizarse con el uso de la medida del\(\theta\) propio ángulo expresado en radianes [rad]. Dejar\(\theta\) ser el ángulo entre dos líneas rectas\(OX\) y\(OP\). Dibuja un círculo de radio\(r\) centrado en\(O\). Las líneas\(OP\) y\(OX\) cortar el círculo en los puntos\(A\) y\(B\) dónde\(OA = OB = r\). Denote la longitud del arco\(AB\) por\(s\), luego la medida del radián de\(\theta\) viene dada por\[\theta =s / r \nonumber \]

y la relación es la misma para los círculos de cualquier radio centrados en\(O\) — al igual que las proporciones\(y / r\) y\(y / x\) son las mismas para todos los triángulos correctos con el ángulo\(\theta\) en\(O\). A medida que\(\theta\) se\(s\) acerca\(360^{\circ}\), se acerca a la circunferencia completa\(2 \pi r\) del círculo, de modo que ese\(360^{\circ}=2 \pi\) rad.

Figura 2.2: Radianes comparados con funciones trigonométricas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Comparemos el comportamiento de\(\sin(\theta)\),\(\tan(\theta)\) y\(\theta\) sí mismo para ángulos pequeños. Se puede ver en la Figura 2.1 que\(s / r > y / r \). Eso es menos obvio\( y / x > \theta\). Es muy instructivo trazar\(\sin(\theta)\),\(\tan(\theta)\), y\(theta\) como funciones de\(\theta\) [rad] entre\(0\) y\(\pi / 2\) sobre la misma gráfica (ver Figura 2.2). Para pequeños\(\theta\), los valores de las tres funciones son casi iguales. Pero, ¿qué tan pequeño es “pequeño”? Una condición aceptable es para\(\theta << 1\) en radianes.

Podemos mostrar esto con algunos ejemplos. Recordemos ese\(360^{\circ} = 2 \pi\) rad,\(57.3^{\circ} = 1\) rad, entonces un ángulo\(6^{\circ} \cong\left(6^{\circ}\right)\left(2 \pi \operatorname{rad} / 360^{\circ}\right) \cong 0.1\) rad cuando se expresa en radianes. En Tabla\(\PageIndex{2}\) comparamos el valor de\(\theta\) (medido en radianes) con\(\sin(\theta)\)\(\tan(\theta)\),\((\theta-\sin \theta) / \theta\), y\((\theta-\tan \theta) / \theta\), para\(\theta = 0.1\) rad,\(0.2\) rad,\(0.5\) rad y\(1.0\) rad.

Tabla\(\PageIndex{2}\): Aproximación de ángulo pequeño

\(\theta\)[rad]	\(\theta\)[grados]	sin (\(\theta\))	bronceado (\(\theta\))	\((\theta-\sin \theta) / \theta\)	\((\theta-\tan \theta) / \theta\)
\ (\ theta\) [rad] ">0.1	\ (\ theta\) [grados] ">5.72958	\ (\ theta\)) ">0.09983	\ (\ theta\)) ">0.10033	\ ((\ theta-\ sin\ theta)/\ theta\) ">0.00167	\ ((\ theta-\ tan\ theta)/\ theta\) ">-0.00335
\ (\ theta\) [rad] ">0.2	\ (\ theta\) [grados]” class="lt-phys-24425"> 11.45916	\ (\ theta\))” class="lt-phys-24425"> 0.19867	\ (\ theta\))” class="lt-phys-24425"> 0.20271	\ ((\ theta-\ sin\ theta)/\ theta\)” class="lt-phys-24425"> 0.00665	\ ((\ theta-\ tan\ theta)/\ theta\)” class="lt-phys-24425"> -0.01355
\ (\ theta\) [rad] ">0.5	\ (\ theta\) [grados]” class="lt-phys-24425"> 28.64789	\ (\ theta\))” class="lt-phys-24425"> 0.47943	\ (\ theta\))” class="lt-phys-24425"> 0.54630	\ ((\ theta-\ sin\ theta)/\ theta\)” class="lt-phys-24425"> 0.54630	\ ((\ theta-\ tan\ theta)/\ theta\)” class="lt-phys-24425"> -0.09260
\ (\ theta\) [rad] ">1.0	\ (\ theta\) [grados]” class="lt-phys-24425"> 57.29578	\ (\ theta\))” class="lt-phys-24425"> 0.84147	\ (\ theta\))” class="lt-phys-24425"> 1.55741	\ ((\ theta-\ sin\ theta)/\ theta\)” class="lt-phys-24425"> 0.15853	\ ((\ theta-\ tan\ theta)/\ theta\)” class="lt-phys-24425"> -0.55741

Los valores para\((\theta-\sin \theta) / \theta\), y\((\theta-\tan \theta) / \theta\), para\(\theta = 0.2\) rad son menores que\(\pm 1.4%\). Siempre que no\(\theta\) sea demasiado grande, la aproximación que\[\sin (\theta) \simeq \tan (\theta) \simeq \theta \nonumber \]

llamada la aproximación de ángulo pequeño, se puede utilizar casi indistintamente, dentro de algún pequeño porcentaje de error. Esta es la base de muchas aproximaciones útiles en los cálculos físicos.

Ejemplo 2.4: Parsec

Una unidad astronómica estándar es el pársec. Considera dos objetos que están separados por una distancia de una unidad astronómica,\( 1 \mathrm{AU}=1.50 \times 10^{11}\) m, que es la distancia media entre la tierra y el sol. (Una unidad astronómica equivale aproximadamente a ocho minutos luz,\( 1 \mathrm{AU}= 8.3 \text{light-minutes}\)). Un pársec es la distancia a la que una unidad astronómica subtiende un\(\theta=1 \text { arcsecond }=(1 / 3600)\) grado de ángulo. Supongamos que una nave espacial está ubicada en un espacio a una distancia 1 pársec del Sol como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). ¿A qué distancia está la nave espacial en términos de años luz y metros?

Figura\(\PageIndex{3}\): Definición del pársec (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

Debido a que un segundo de arco corresponde a un ángulo muy pequeño, un pársec es por lo tanto igual a la distancia dividida por el ángulo, por lo tanto

\[\begin{align*} 1 \mathrm{pc} & =\frac{(1 \mathrm{AU})}{(1 / 3600)}=\left(2.06 \times 10^{5} \mathrm{AU}\right)\left(\frac{1.50 \times 10^{11} \mathrm{m}}{1 \mathrm{AU}}\right)=3.09 \times 10^{16} \mathrm{m} \\[4pt] &=\left(3.09 \times 10^{16} \mathrm{m}\right)\left(\frac{11 \mathrm{y}}{9.46 \times 10^{15} \mathrm{m}}\right)=3.26 \text { ly} \end{align*} \nonumber \]

Esteradios

El esteradiano [sr] es la unidad de ángulo sólido que, al tener su vértice en el centro de una esfera, corta un área de la superficie de la esfera igual a la de un cuadrado con lados de longitud iguales al radio de la esfera. El símbolo convencional para la medida esteradiana es\(\Omega\), la letra griega mayúscula “Omega”. El ángulo sólido total\(\mathbf{\Omega}_{\mathrm{sph}}\) de una esfera se encuentra entonces dividiendo el área superficial de la esfera por el cuadrado del radio,

\[\Omega_{\mathrm{sph}}=4 \pi r^{2} / r^{2}=4 \pi \nonumber \]

Este resultado es independiente del radio de la esfera.

Intensidad Radiante

“La unidad SI, candela, es la intensidad luminosa de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia\(540 \times 10^{12} \mathrm{s}^{-1}\), en una dirección dada, y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de\(1/683\) vatios por esteradio”.

Tenga en cuenta que “en una dirección dada” no se puede tomar de manera demasiado literal. La intensidad se mide por esteradiano de propagación, por lo que si la radiación no tiene dispersión de direcciones, la intensidad luminosa sería infinita.