8.1: Leyes de Fuerza

Aquellos que están enamorados de la práctica sin conocimiento son como el marinero que se mete en un barco sin timón ni brújula y que nunca puede estar seguro de si va. La práctica siempre debe basarse en la teoría del sonido

~Leonardo da Vinci

Hay fuerzas que no cambian apreciablemente de un instante a otro, a las que nos referimos como constantes en el tiempo, y fuerzas que no cambian apreciablemente de un punto a otro, a las que nos referimos como constantes en el espacio. La fuerza gravitacional sobre un objeto cercano a la superficie de la tierra es un ejemplo de una fuerza que es constante en el espacio. Hay fuerzas que dependen de la configuración de un sistema. Cuando una masa se une a un extremo de un resorte, la fuerza del resorte que actúa sobre el objeto aumenta en fuerza, ya sea que el resorte esté extendido o comprimido. Hay fuerzas que se extienden en el espacio de tal manera que su influencia disminuye con la distancia. Ejemplos comunes son las fuerzas gravitacionales y eléctricas. La fuerza gravitacional entre dos objetos cae como el cuadrado inverso de la distancia que separa los objetos siempre que los objetos sean de una pequeña dimensión en comparación con la distancia entre ellos. Arreglos más complicados de atraer y repeler interacciones dan lugar a fuerzas que se desprenden con otras potencias de r: constante,\(1 / r, 1 / r^{2}, 1/ r^{3}\)

Una fuerza puede permanecer constante en magnitud pero cambiar de dirección; por ejemplo, la fuerza gravitacional que actúa sobre un planeta que experimenta un movimiento circular alrededor de una estrella se dirige hacia el centro del círculo. Este tipo de fuerza central atractiva se llama fuerza centrípeta.

Una ley de fuerza describe la relación entre la fuerza y algunos bienes medibles de los objetos involucrados. Veremos que algunas interacciones son descriptibles por leyes de fuerza y otras interacciones no pueden describirse tan simplemente.

Ley de Hooke

Para estirar o comprimir un resorte desde su longitud de equilibrio, se debe ejercer una fuerza sobre el resorte. Considera un objeto de masa m que está tumbado sobre una superficie horizontal. Fije un extremo de un resorte al objeto y fije el otro extremo del resorte a una pared. Dejar\(l_{0}\) denotar la longitud de equilibrio del resorte (ni estirado ni comprimido). Supongamos que la superficie de contacto es lisa y, por lo tanto, sin fricción para considerar solo el efecto de la fuerza del resorte. Si el objeto es jalado para estirar el resorte o empujado para comprimir el resorte, entonces por la Tercera Ley de Newton la fuerza del resorte sobre el objeto es igual y opuesta a la fuerza que el objeto ejerce sobre el resorte. Nos referiremos a la fuerza del resorte sobre el objeto como la fuerza del resorte y determinaremos experimentalmente una relación entre esa fuerza y la cantidad de estiramiento o compresión del resorte. Elija un sistema de coordenadas con el origen ubicado en el punto de contacto del muelle y el objeto cuando el sistema resorte-objeto se encuentre en la configuración de equilibrio. Elija el vector\(\hat{\mathbf{i}}\) de unidad para apuntar en la dirección en la que se mueve el objeto cuando se estira el resorte. Elija la función de coordenadas x para denotar la posición del objeto con respecto al origen (Figura 8.1).

Figura 8.1 Muelle unido a una pared y a un objeto

Inicialmente estire el resorte hasta que el objeto esté en la posición x. Luego suelte el objeto y mida la aceleración del objeto en el instante en que se suelte el objeto. La magnitud de la fuerza del resorte que actúa sobre el objeto es\(|\overrightarrow{\mathbf{F}}|=m|\overrightarrow{\mathbf{a}}|\) Ahora repite el experimento para una gama de estiramientos (o compresiones). Los experimentos muestran que para cada resorte, existe un rango de valores máximos\(x_{\max }>0\) para estiramiento y valores mínimos\(x_{\min }<0\) para comprimir de tal manera que la magnitud de la fuerza medida es proporcional a la longitud estirada o comprimida y viene dada por la fórmula.

\[|\overrightarrow{\mathbf{F}}|=k|x| \nonumber \]

donde la constante de resorte k tiene unidades\(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{-1}\). El diagrama de fuerza de cuerpo libre se muestra en la Figura 8.2.

Figura 8.2 Fuerza de resorte que actúa sobre el objeto

La constante k es igual a la negativa de la pendiente de la gráfica de la fuerza vs. la compresión o estiramiento (Figura 8.3).

Figura 8.3 Gráfica de x -componente de la fuerza elástica\(F_{x}\) vs. x

La dirección de la aceleración es siempre hacia la posición de equilibrio ya sea que el resorte esté estirado o comprimido. Este tipo de fuerza se denomina fuerza restauradora. Deje que Fx denote el componente x de la fuerza del resorte. Entonces

\[F_{x}=-k x \nonumber \]

Ahora realiza experimentos similares en otros resortes. Para un rango de longitudes estiradas, cada resorte exhibe la misma proporcionalidad entre la fuerza y la longitud estirada, aunque la constante del resorte puede diferir para cada resorte.

Sería extremadamente poco práctico determinar experimentalmente si esta proporcionalidad se mantiene para todos los resortes, y debido a que una modesta muestra de resortes ha confirmado la relación, inferiremos que todos los resortes ideales producirán una fuerza restauradora, que es linealmente proporcional a la estirada (o comprimido) de longitud. Esta relación experimental con respecto a la fuerza y las longitudes estiradas (o comprimidas) para un conjunto finito de resortes ahora se ha generalizado inductivamente en el modelo matemático anterior para resortes ideales, una ley de fuerza conocida como Ley de Hooke.

Este paso inductivo, denominado inducción newtoniana, es el paso crítico que hace de la física una ciencia predictiva. Supongamos que un resorte, unido a un objeto de masa m, se estira en una cantidad Δx. Utilizar la ley de fuerza para predecir la magnitud de la fuerza entre la banda elástica y el objeto\(|\overrightarrow{\mathbf{F}}|=k|\Delta x|\), sin tener que medir experimentalmente la aceleración. Ahora usa la Segunda Ley de Newton para predecir la magnitud de la aceleración del objeto.

\[|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=\frac{|\overrightarrow{\mathbf{r}}|}{m}=\frac{k|\Delta x|}{m} \nonumber \]

Llevar a cabo el experimento, y medir la aceleración dentro de algunos límites de error. Si la magnitud de la aceleración predicha no está de acuerdo con el resultado medido, entonces el modelo para la ley de fuerza necesita modificación. La capacidad de ajustar, corregir o incluso rechazar modelos basados en nuevos resultados experimentales permite una descripción de las fuerzas entre objetos para cubrir dominios experimentales cada vez más grandes.

Muchos resortes reales han sido enrollados de tal manera que se\(F_{0}\) debe aplicar una fuerza de magnitud antes de que el resorte comience a estirarse. El valor de\(F_{0}\) se conoce como la pretensión del resorte. En estas circunstancias, se debe modificar la ley de Hooke para dar cuenta de esta pretensión,

\ [\ left\ {\ begin {array} {ll}
F_ {x} =-F_ {0} -k x, & x>0\\
F_ {x} =+F_ {1} -k x, & x<0
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Tenga en cuenta el valor de la pretensión\(F_{0}\) y\(F_{1}\) puede diferir para comprimir o estirar un resorte.