8.2: Leyes Fundamentales de la Naturaleza

Las leyes de fuerza son modelos matemáticos de procesos físicos. Surgen de la observación y experimentación, y tienen rangos limitados de aplicabilidad. ¿La ley de fuerza lineal para el resorte se sostiene para todos los resortes? Cada primavera probablemente tendrá un rango diferente de comportamiento lineal. Por lo que el modelo para estirar resortes aún carece de carácter universal. Como tal, debería haber cierta vacilación para generalizar esta observación a todos los manantiales a menos que alguna propiedad del manantial, universal a todos los manantiales, sea responsable de la ley de fuerza.

Quizás los resortes se componen de componentes muy pequeños, que cuando se separan tienden a contraerse de nuevo juntos. Esto sugeriría que existe algún tipo de fuerza que contrae las moléculas de resorte cuando se separan. ¿Qué mantiene unidas a las moléculas? ¿Podemos encontrar alguna propiedad fundamental de la interacción entre átomos que bastará para explicar la ley macroscópica de la fuerza? Esta búsqueda de fuerzas fundamentales es una tarea central de la física.

En el caso de los resortes, esto podría conducir a una investigación de la composición y propiedades estructurales de los átomos que componen el acero en la primavera. Investigaríamos las propiedades geométricas de la red de átomos y determinaríamos si existe alguna propiedad fundamental de los átomos que crean esta red. Entonces nos preguntamos qué tan estable es esta celosía bajo deformaciones. Esto puede llevar a una investigación sobre las configuraciones de electrones asociadas con cada átomo y cómo se superponen para formar enlaces entre átomos. Estas partículas llevan cargas, que obedecen a la Ley de Coulomb, pero también a las Leyes de la Mecánica Cuántica. Entonces, para llegar a una explicación satisfactoria de las propiedades elásticas restauradoras de la primavera, necesitamos modelos que describan la física fundamental que subrayen la Ley de Hooke.

Ley Universal de Gravitación

En puntos significativamente alejados de la superficie de la Tierra, la fuerza gravitacional ya no es constante con respecto a la distancia al centro de la Tierra. La Ley Universal de Gravitación de Newton describe la fuerza gravitacional entre dos objetos con masas,\(m_{1}\) y\(m_{2}\). Esta fuerza apunta a lo largo de la línea que conecta los objetos, es atractiva, y su magnitud es proporcional al cuadrado inverso de la distancia,\(r_{1,2}\) entre los dos objetos puntiformes (Figura 8.4a). La fuerza sobre el objeto 2 debida a la interacción gravitacional entre los dos objetos viene dada por

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2}^{G}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}^{2}} \hat{\mathbf{r}}_{1,2} \nonumber \]

donde\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\) es un vector dirigido desde el objeto 1 al objeto 2,\(r_{1,2}=\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}\right|\), y\(\hat{\mathbf{r}}_{1,2}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2} /\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}\right|\) es un vector unitario dirigido desde el objeto 1 al objeto 2 (Figura 8.4b). La constante de proporcionalidad en unidades SI es\(G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{kg}^{-2}\).

Figura 8.4 (b) Sistema de coordenadas para el problema de dos cuerpos.

Principio de Equivalencia:

El Principio de Equivalencia establece que la masa que aparece en la Ley Universal de la Gravedad es idéntica a la masa inercial que se determina con respecto al kilogramo estándar. A partir de este punto, se asumirá la equivalencia de la masa inercial y gravitacional y la masa se denotará con el símbolo m.

Fuerza gravitacional cerca de la superficie de la Tierra

Cerca de la superficie de la Tierra, la interacción gravitacional entre un objeto y la Tierra es mutuamente atractiva y tiene una magnitud de

\[\left|\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {earth}, \text {object}}^{G}\right|=m g \nonumber \]

donde g es una constante positiva.

El Comité Internacional de Pesos y Medidas ha adoptado como valor estándar para la aceleración de un objeto que cae libremente en el vacío\(g=9.80665 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\). El valor real de g varía en función de la elevación y latitud. Si\(\phi\) es la latitud y h la elevación en metros entonces la aceleración de la gravedad en unidades SI es

\[g=\left(9.80616-0.025928 \cos (2 \phi)+0.000069 \cos ^{2}(2 \phi)-3.086 \times 10^{-4} h\right) \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \nonumber \]

Esto se conoce como la ecuación de Helmert. La fuerza de la fuerza gravitacional sobre el kilogramo estándar a\(42^{\circ}\) latitud es\(9.80345 \mathrm{N} \cdot \mathrm{kg}^{-1}\) y la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es, por lo tanto,\(g=9.80345 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\) para todos los objetos. En el ecuador,\(g=9.78 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\) y en los polos\(g=9.83 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\) Esta diferencia se debe principalmente a la rotación de la tierra, que introduce una fuerza repulsiva aparente (ficticia) que afecta la determinación de g como se da en la Ecuación (8.2.2) y además aplana la forma esférica de la Tierra (la distancia desde el centro de la Tierra es más grande en el ecuador que en los polos en unos 26.5 km). Tanto la magnitud como la dirección de la fuerza gravitacional también muestran variaciones que dependen de las características locales hasta un punto que es útil para la prospección de petróleo, la investigación del nivel freático, la navegación de submarinos sumergidos y muchos otros usos prácticos. Tales variaciones en g se pueden medir con un balance elástico sensible. Las variaciones locales han sido muy estudiadas en las últimas dos décadas en el intento de descubrir una propuesta de “quinta fuerza” que caería más rápido que la fuerza gravitacional que cae como el cuadrado inverso de la distancia entre los objetos.

Carga Eléctrica y Ley de Coulomb

La materia tiene propiedades distintas a la masa. La materia también puede llevar uno de los dos tipos de carga eléctrica observada, positiva y negativa. Los cargos similares se repelen, y los cargos opuestos se atraen entre sí. La unidad de carga en el sistema SI de unidades se llama culombo [C].

La unidad más pequeña de carga “libre” conocida en la naturaleza es la carga de un electrón o protón, que tiene una magnitud de

\[e=1.602 \times 10^{-19} \mathrm{C} \nonumber \]

Se ha demostrado experimentalmente que la carga transportada por objetos ordinarios se cuantifica en múltiplos integrales de la magnitud de esta carga gratuita. El electrón lleva una unidad de carga negativa\( \left(q_{e}=-e\right) \) y el protón lleva una unidad de carga positiva\( \left(q_{p}=+e\right)\). En un sistema aislado, la carga permanece constante; en un sistema cerrado, una cantidad de carga desequilibrada no puede crearse ni destruirse. La carga sólo se puede transferir de un objeto a otro.

Considera dos objetos puntiagudos con cargas\(q_{1}\) y\(q_{2}\) separados por una distancia\(r_{1,2}\) al vacío. Por observación experimental, los dos objetos se repelen entre sí si ambos están cargados positiva o negativamente (Figura 8.4a). Se atraen entre sí si están cargados de manera opuesta (Figura 8.5b). La fuerza ejercida sobre el objeto 2 debido a la interacción entre los objetos 1 y 2 viene dada por la Ley de Coulomb,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2}^{E}=k_{e} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{1,2}^{2}} \hat{\mathbf{r}}_{1,2} \nonumber \]

donde\(\hat{\mathbf{r}}_{1,2}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2} /\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1,2}\right|\) es un vector unitario dirigido desde el objeto 1 al objeto 2, y en unidades SI,\(k_{e}=8.9875 \times 10^{9} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{C}^{-2}\) como se ilustra en la Figura 8.5a. Esta ley fue derivada empíricamente por Carlos Agustín de Coulomb a finales del siglo XVIII.

Figura 8.5 (a) y 8.5 (b) Interacción de Coulomb entre dos cargas

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Coulomb’s Law and the Universal Law of Gravitation

Demostrar que tanto la Ley de Coulomb como la Ley Universal de la Gravitación satisfacen la Tercera Ley de Newton.

Solución

Para ver esto, el intercambio 1 y 2 en la Ley Universal de la Gravitación para encontrar la fuerza sobre el objeto 1 debido a la interacción entre los objetos. La única cantidad para cambiar de signo es el vector de unidad

\[\hat{\mathbf{r}}_{2,1}=-\hat{\mathbf{r}}_{1,2} \nonumber \]

Entonces

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{2,1}^{G}=-G \frac{m_{2} m_{1}}{r_{2,1}^{2}} \hat{\mathbf{r}}_{2,1}=G \frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}^{2}} \hat{\mathbf{r}}_{1,2}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{1,2}^{G} \nonumber \]

La Ley de Coulomb también satisface la Tercera Ley de Newton ya que la única cantidad para cambiar de signo es el vector unitario, al igual que en el caso de la Ley Universal de Gravitación.