12.1: Introducción al Momentum y al Flujo de Masa

A pesar de que se tiró el lanzamiento, el cohete no se elevó al principio, sino que salió la llama, y hubo un rugido constante. Después de varios segundos se elevó, lentamente hasta despejar la llama, y luego a velocidad del tren expreso, curvándose hacia la izquierda, y golpeando el hielo y la nieve, aún yendo a un ritmo rápido. Parecía casi mágico a medida que se elevaba, sin ningún ruido o llama apreciablemente mayor, como si dijera: “Ya llevo aquí el tiempo suficiente; creo que voy a ir a otro lado, si no te importa”.

Robert Goddard

Prefacio: El vuelo Challenger

Cuando la Comisión Rogers en 1986 investigó el desastre del Challenger, un miembro de la comisión, el físico Richard Feynman, hizo una manifestación extraordinaria durante las audiencias.

“Él (Feynman) también aprendió que el caucho utilizado para sellar las juntas sólidas de refuerzo de cohetes usando juntas tóricas, no logró expandirse cuando la temperatura estaba en o por debajo de 32 grados F (0 grados C). La temperatura al momento del despegue del Challenger era de 32 grados F. Feynman ahora creía que tenía la solución, pero para probarla, dejó caer una pieza del material de la junta tórica, apretada con una abrazadera en C para simular las condiciones reales de la lanzadera, en un vaso de agua helada. El hielo, por supuesto, es de 32 grados F. En este punto uno necesita entender exactamente qué papel juegan las juntas tóricas en las juntas de refuerzo de cohetes sólidos (SRB). Cuando el material en el SRB comienza a calentarse, se expande y empuja contra los lados del SRB. Si hay una abertura en una articulación en el SRB, el gas intenta escapar a través de esa abertura (piense en ello como agua en una tetera que se escapa a través de la boquilla). Esta fuga en el SRB del Challenger fue fácilmente visible como un pequeño parpadeo en una foto de lanzamiento. Este parpadeo se convirtió en una llama y comenzó a calentar el tanque de combustible, que luego se partió. Cuando esto sucedió, el tanque de combustible liberó hidrógeno líquido a la atmósfera donde explotó. Como explicó Feynman, debido a que las juntas tóricas no pueden expandirse con un clima de 32 grados, el gas encuentra huecos en las articulaciones, lo que provocó la explosión del booster y luego de la propia lanzadera”.

En el Informe de la Comisión Presidencial sobre el Accidente Challenger del Transbordador Espacial (1986), Apéndice F - Observaciones personales sobre la confiabilidad del Transbordador, Feynman escribió

El vuelo Challenger es un excelente ejemplo.... Las juntas tóricas de los Solid Rocket Boosters no fueron diseñadas para erosionarse. La erosión era una pista de que algo andaba mal. La erosión no fue algo de lo que se pueda inferir la seguridad. No había manera, sin un entendimiento pleno, de que uno pudiera tener confianza en que las condiciones la próxima vez podrían no producir erosión tres veces más severa que la anterior. Sin embargo, los funcionarios se engañaron pensando que tenían tal comprensión y confianza, a pesar de las peculiares variaciones de un caso a otro. Se realizó un modelo matemático para calcular la erosión. Se trata de un modelo basado no en la comprensión física sino en el ajuste empírico de curvas. Para ser más detallados, se suponía que una corriente de gas caliente incidía sobre el material de la junta tórica, y el calor se determinó en el punto de estancamiento (hasta el momento, con leyes físicas, termodinámicas razonables). Pero para determinar cuánto caucho se erosionó se asumió esto dependía únicamente de este calor por una fórmula sugerida por datos sobre un material similar. Una gráfica logarítmica sugería una línea recta, por lo que se suponía que la erosión variaba como la potencia .58 del calor, estando determinada la .58 por un ajuste más cercano. En cualquier caso, ajustando algunos otros números, se determinó que el modelo coincidía con la erosión (a profundidad de un tercio del radio del anillo). ¡No hay nada tan malo en esto como creer la respuesta! Las incertidumbres aparecen en todas partes. Lo fuerte que podría ser la corriente de gas era impredecible, dependía de los agujeros formados en la masilla. Blow-by mostró que el anillo podría fallar aunque no, o solo parcialmente erosionado. Se sabía que la fórmula empírica era incierta, pues no pasaba directamente por los mismos puntos de datos por los que se determinaba. Hubo una nube de puntos algunas dos veces por encima, y otras dos veces por debajo de la curva ajustada, por lo que las erosiones dos veces predichas fueron razonables solo a partir de esa causa. Incertidumbres similares rodearon las otras constantes en la fórmula, etc., etc. Al utilizar un modelo matemático se debe prestar una atención cuidadosa a las incertidumbres en el modelo....

En todo caso esto ha tenido consecuencias muy desafortunadas, la más grave de las cuales es alentar a los ciudadanos comunes a volar en una máquina tan peligrosa, como si hubiera alcanzado la seguridad de un avión ordinario. Los astronautas, al igual que los pilotos de prueba, deben conocer sus riesgos, y nosotros los honramos por su valentía. ¿Quién puede dudar de que McAuliffe fuera igualmente una persona de gran valor, que estuvo más cerca de una conciencia del verdadero riesgo de lo que la gerencia de la NASA nos haría creer? Hagamos recomendaciones para que los funcionarios de la NASA se ocupen en un mundo de realidad en la comprensión de las debilidades e imperfecciones tecnológicas lo suficientemente bien como para estar tratando activamente de eliminarlas.... Para una tecnología exitosa, la realidad debe prevalecer sobre las relaciones públicas, pues la naturaleza no puede ser engañada.

Hasta ahora nos hemos limitado a considerar sistemas que consisten en objetos discretos u objetos puntiagudos que tienen cantidades fijas de masa. Consideraremos ahora sistemas en los que el material fluye entre los objetos del sistema, por ejemplo consideraremos el carbón que cae de una tolva a un vagón de ferrocarril en movimiento, la arena que gotea del combustible del vagón de ferrocarril, el grano que avanza hacia un vagón de ferrocarril, y el combustible expulsado de la parte posterior de un cohete, En cada uno de estos ejemplos material fluye continuamente dentro o fuera de un objeto. Ya hemos demostrado que la fuerza externa total hace que cambie el impulso de un sistema,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}^{\text {total }}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}}{d t} \nonumber \]

Analizaremos cómo cambia el impulso de los elementos constitutivos de nuestro sistema a lo largo de un intervalo de tiempo\([t, t+\Delta t]\), para luego considerar el límite como\(\Delta t \rightarrow 0\). Entonces podemos calcular explícitamente la derivada en el lado derecho de la Ecuación (12.2.1) y la Ecuación (12.2.1) se convierte en

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}^{\text {total }}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}(t)}{\Delta t} \nonumber \]

Debemos tener mucho cuidado de cómo aplicamos esta versión generalizada de la Segunda Ley de Newton a sistemas en los que la masa fluye entre los objetos constituyentes. En particular, cuando aislamos elementos como parte de nuestro sistema debemos tener cuidado de identificar la masa Δm del material que fluye continuamente dentro o fuera de un objeto que forma parte de nuestro sistema durante el intervalo de tiempo Δt bajo consideración.

Consideraremos cuatro categorías de problemas de flujo másico que se caracterizan por la transferencia de momento del material de masa Δm.

Transferencia de Material a un Objeto, pero no Transferencia de Momento

Considera por ejemplo lluvia cayendo verticalmente hacia abajo con velocidad\(u\) en carro de masa m avanzando con velocidad\(v\). Una pequeña cantidad de lluvia que cae no\(\Delta m_{r}\) tiene componente de impulso en la dirección del movimiento del automóvil. Hay una transferencia de lluvia al interior del automóvil pero ninguna transferencia de impulso en la dirección de movimiento del automóvil (Figura 12.1).

Figura 12.1 Transferencia de masa de lluvia al interior del automóvil pero sin transferencia de impulso en dirección de movimiento

Transferencia de material fuera de un objeto, pero no transferencia de impulso

El material abandona continuamente el objeto pero no transporta ningún momento lejos del objeto en la dirección de movimiento del objeto (Figura 12.2). Considera un patinador sobre hielo deslizándose sobre hielo a velocidad v sosteniendo una bolsa de arena que está goteando hacia abajo con respecto al patinador en movimiento. La arena sale continuamente de la bolsa pero no transporta ningún impulso lejos de la bolsa en la dirección de movimiento del objeto. En la Figura 12.2, la arena de masa\(\Delta m_{s}\) sale de la bolsa.

Figura 12.2 Transferencia de masa fuera del objeto pero sin transferencia de impulso en la dirección del movimiento

Transferencia de Impulsos Materiales Objeto Vía Transferencia de Momentum

Supongamos que se usa una manguera contra incendios para apagar un fuego en un bote de masa\(m_{b}\). Supongamos que la columna de agua se mueve horizontalmente con velocidad u. El agua entrante golpea continuamente la embarcación impulsándola hacia adelante. Durante el intervalo de tiempo\(\Delta t\) una columna de agua de masa\(\Delta m_{s}\) golpeará la embarcación que avanza con la velocidad v aumentando su velocidad (Figura 12.3).

Figura 12.3 Transferencia de masa de agua aumenta la velocidad de la embarcación

Material Expulsado Continuamente del Objeto da como resultado Retroceso del Objeto

Cuando\(\Delta m_{f}\) se expulsa combustible de masa de la parte trasera de un cohete con velocidad u relativa al cohete, el cohete de masa\(m_{r}\) retrocede hacia adelante. La Figura 12.4a muestra el retroceso del cohete en el marco de referencia del cohete. El cohete retrocede con velocidad\(\Delta v_{r}\). En un marco de referencia en el que el cohete avanza con velocidad\(v_{r}\), entonces la velocidad después del retroceso es\(v_{r}+\Delta v_{r}\). La velocidad del combustible expulsado hacia atrás es\(u-v_{r}\) (Figura 12.4b).

Figura 12.4 La transferencia de masa fuera del cohete proporciona impulso en cohete en (a) marco de referencia del cohete, (b) marco de referencia en el que el cohete se mueve con velocidad\(v_{r}\)

Debemos identificar cuidadosamente el momento del objeto y el material transferido en el tiempo t para poder determinarlo\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}(t)\). También debemos identificar el momento del objeto y el material transferido\(t+\Delta t\) en el momento para determinar\(\overrightarrow{\mathbf{p}}_{\text {system }}(t+\Delta t)\) también. Recordemos que cuando definimos el impulso de un sistema, asumimos que la masa del sistema permanece constante. Por lo tanto, no podemos ignorar el impulso del material transferido en el momento a\(t+\Delta t\) pesar de que puede haber salido del objeto; sigue siendo parte de nuestro sistema (o en el tiempo t aunque todavía no haya fluido hacia el objeto).