13.3: Cinemática y energía cinética en una dimensión

Movimiento Constante Acelerado

Consideremos un movimiento acelerado constante de un cuerpo rígido en una dimensión en la que tratamos al cuerpo rígido como una masa puntual. Supongamos que en t = 0 el cuerpo tiene una x - componente inicial de la velocidad dada por\(\mathcal{V}_{x, i}\). Si la aceleración es en la dirección del desplazamiento del cuerpo entonces el cuerpo aumentará su velocidad. Si la aceleración es opuesta a la dirección del desplazamiento entonces la aceleración disminuirá la velocidad del cuerpo. El desplazamiento del cuerpo viene dado por

\[\Delta x=v_{x, i} t+\frac{1}{2} a_{x} t^{2} \nonumber \]

El producto de la aceleración y el desplazamiento es

\[a_{x} \Delta x=a_{x}\left(v_{x, i} t+\frac{1}{2} a_{x} t^{2}\right) \nonumber \]

La aceleración viene dada por

\[a_{x}=\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}=\frac{\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)}{t} \nonumber \]

Por lo tanto

\[a_{x} \Delta x=\frac{\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)}{t}\left(v_{x, i} t+\frac{1}{2} \frac{\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)}{t} t^{2}\right) \nonumber \]

La ecuación (13.3.4) se convierte en

\[a_{x} \Delta x=\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)\left(v_{x, i}\right)+\frac{1}{2}\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)\left(v_{x, f}-v_{x, i}\right)=\frac{1}{2} v_{x, f}^{2}-\frac{1}{2} v_{x, i}^{2} \nonumber \]

Si multiplicamos cada lado de la Ecuación (13.3.5) por la masa m del objeto, este resultado cinemático adquiere una interpretación interesante para el movimiento del objeto. Tenemos

\[m a_{x} \Delta x=\frac{1}{2} m v_{x, f}^{2}-m \frac{1}{2} v_{x, i}^{2}=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Recordemos que para el movimiento unidimensional, la Segunda Ley de Newton es\(F_{x}=m a_{x}\), para el movimiento considerado aquí, la Ecuación (13.3.6) se convierte

\[F_{x} \Delta x=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Movimiento acelerado no constante

Si la aceleración no es constante, entonces podemos dividir el desplazamiento en N intervalos indexados por j = 1 a N. Será conveniente denotar los intervalos de desplazamiento por\(\Delta x_{j}\) los intervalos de tiempo correspondientes por\(\Delta t_{j}\) y las x -componentes de las velocidades al principio y al final de cada intervalo como\(\mathcal{V}_{x, j-1}\) y\(\mathcal{V}_{x, j}\). Obsérvese que el componente x de la velocidad al principio y al final del primer intervalo j =1es entonces\(v_{x, 1}=v_{x, i}\) y la velocidad al final del último intervalo,\(j=N\) es\(v_{x, N}=v_{x, j}\). Considerar la suma de los, productos de la aceleración\(\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave}}\) y desplazamiento promedio\(\Delta x_{j}\) en cada intervalo,

\[\sum_{j=1}^{j=N}\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j} \nonumber \]

La aceleración promedio en cada intervalo es igual a

\[\left(a_{x, j}\right)_{\mathrm{ave}}=\frac{\Delta v_{x, j}}{\Delta t_{j}}=\frac{\left(v_{x, j+1}-v_{x, j}\right)}{\Delta t_{j}} \nonumber \]

y así la contribución en cada integral se puede calcular como arriba y tenemos que

\[\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j}=\frac{1}{2} v_{x, j}^{2}-\frac{1}{2} v_{x, j-1}^{2} \nonumber \]

Cuando sumamos sobre todos los términos solo sobreviven los últimos y primeros términos, todos los demás términos se cancelan en parejas, y tenemos eso

\[\sum_{j=1}^{j=N}\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j}=\frac{1}{2} v_{x, f}^{2}-\frac{1}{2} v_{x, i}^{2} \nonumber \]

En el límite como\(N \rightarrow \infty\) y\(\Delta x_{j} \rightarrow 0\) para todos j (¡deben cumplirse ambas condiciones!) , el límite de la suma es la definición de la integral definida de la aceleración con respecto a la posición,

\[\lim _{N \rightarrow \infty \atop \Delta x_{j} \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{j=N}\left(a_{x, j}\right)_{\text {ave }} \Delta x_{j} \equiv \int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} a_{x}(x) d x \nonumber \]

Por lo tanto, en el límite como\(N \rightarrow \infty\) y\(\Delta x_{j} \rightarrow 0\) para todos j, con\(v_{x, N} \rightarrow v_{x, f}\) la Ecuación (13.3.11) se convierte

\[\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} a_{x}(x) d x=\frac{1}{2}\left(v_{x, f}^{2}-v_{x, i}^{2}\right) \nonumber \]

Este resultado integral es consecuencia de la definición que\(a_{x} \equiv d v_{x} / d t\). La integral en la Ecuación (13.3.13) es una integral con respecto al espacio, mientras que nuestra integral anterior

\[\int_{t=t_{i}}^{t=t_{f}} a_{x}(t) d t=v_{x, f}-v_{x, i} \nonumber \]

requiere integrar la aceleración con respecto al tiempo. Multiplicar ambos lados de la Ecuación (13.3.13) por la masa m rendimientos

\[\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} m a_{x}(x) d x=\frac{1}{2} m\left(v_{x, f}^{2}-v_{x, i}^{2}\right)=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

Cuando introducimos la Segunda Ley de Newton en la forma\(F_{x}=m a_{x}\), entonces la Ecuación (13.3.15) se convierte en

\[\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} F_{x}(x) d x=K_{f}-K_{i} \nonumber \]

La integral del componente x de la fuerza con respecto al desplazamiento en la Ecuación (13.3.16) se aplica al movimiento de un objeto puntiforme. Para cuerpos extendidos, la Ecuación (13.3.16) se aplica al movimiento del centro de masa porque la fuerza externa sobre un cuerpo rígido hace que el centro de masa se acelere.