13.10: Ejemplos trabajados

Ejemplo 13.11 Trabajo realizado en un campo de gravitación constante

El trabajo realizado en un campo de gravitación uniforme es un cálculo bastante sencillo cuando el cuerpo se mueve en la dirección del campo. Supongamos que el cuerpo se mueve bajo la influencia de la gravedad,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}=-m g \hat{\mathbf{j}}\) a lo largo de una curva parabólica. El cuerpo comienza en el punto\(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) y termina en el punto\(\left(x_{f}, y_{f}\right)\). ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza de gravitación sobre el cuerpo?

Solución: El elemento de línea infinitesimal\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}\) es por lo tanto

\[d \overrightarrow{\mathbf{r}}=d x \hat{\mathbf{i}}+d y \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

El producto escalar que aparece en la integral de línea ahora se puede calcular,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=-m g \hat{\mathbf{j}} \cdot[d x \hat{\mathbf{i}}+d y \hat{\mathbf{j}}]=-m g d y \nonumber \]

Este resultado no es sorprendente ya que la fuerza está sólo en la dirección y. Por lo tanto, la única contribución distinta de cero a la integral de trabajo es en la dirección y, con el resultado de que

\[W=\int_{\mathrm{r}_{0}}^{\mathrm{r}_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{y=y_{0}}^{y=y_{f}} F_{y} d y=\int_{y=y_{0}}^{y=y_{f}}-m g d y=-m g\left(y_{f}-y_{0}\right) \nonumber \]

En este caso de una fuerza constante, la integral de trabajo es independiente del camino.

Ejemplo 13.12 Sistema de primavera-cuerpo de la ley de Hooke

Considere un sistema de cuerpo de resorte que se encuentra sobre una superficie horizontal sin fricción con un extremo del resorte fijado a una pared y el otro extremo unido a un cuerpo de masa m (Figura 13.19). Calcular el trabajo realizado por la fuerza del resorte sobre el cuerpo a medida que el cuerpo se mueve de alguna posición inicial a alguna posición final.

Figura 13.19 Un sistema de resorte-cuerpo.

Solución: Elija el origen en la posición del centro del cuerpo cuando el resorte esté relajado (la posición de equilibrio). Sea x el desplazamiento del cuerpo desde el origen. Elegimos el vector\(+\hat{\mathbf{i}}\) unitario para apuntar en la dirección en la que se mueve el cuerpo cuando se estira el resorte (a la derecha de x = 0 en la figura). La fuerza del resorte en el cuerpo es dada entonces por

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=F_{x} \hat{\mathbf{i}}=-k x \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]

El trabajo realizado por la fuerza del resorte sobre la masa es

\[W_{\text {spring }}=\int_{x=x_{0}}^{x=x_{f}}(-k x) d x=-\frac{1}{2} k\left(x_{f}^{2}-x_{0}^{2}\right) \nonumber \]

Ejemplo 13.13 Trabajo realizado por la Fuerza de Gravitación Cuadrada Inversa

Considera un cuerpo de masa m al moverse en un plano orbital fijo alrededor del sol. La masa del sol es\(m_{s}\). ¿Cuánto trabajo realiza la interacción de gravitación entre el sol y el cuerpo en el cuerpo durante este movimiento?

Solución: Supongamos que el sol está fijo y elegir un sistema de coordenadas polares con el origen en el centro del sol. Inicialmente el cuerpo se encuentra a una\(r_{0}\) distancia del centro del sol. En la configuración final el cuerpo se ha movido a cierta\(r_{f}<r_{0}\) distancia del centro del sol. El desplazamiento infinitesimal del cuerpo viene dado por\(d \overrightarrow{\mathbf{r}}=d r \hat{\mathbf{r}}+r d \theta \hat{\mathbf{\theta}}\). La fuerza de gravitación entre el sol y el cuerpo viene dada por

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{g r a v}=F_{g r a v} \hat{\mathbf{r}}=-\frac{G m_{s} m}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

El trabajo infinitesimal realizado el trabajo realizado por esta fuerza de gravitación en el cuerpo viene dado por

\[d W=\overrightarrow{\mathbf{F}}_{g r a v} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\left(F_{g r a v, r} \hat{\mathbf{r}}\right) \cdot(d r \hat{\mathbf{r}}+r d \theta \hat{\mathbf{\theta}})=F_{g r a v, r} d r \nonumber \]

Por lo tanto, el trabajo realizado sobre el objeto a medida que el objeto se mueve de\(r_{i}\) a\(r_{f}\) viene dado por la integral

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{g r a v} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{r_{i}}^{r_{f}} F_{g r a v, r} d r=\int_{r_{i}}^{r_{f}}\left(-\frac{G m_{\mathrm{sun}} m}{r^{2}}\right) d r \nonumber \]

Al evaluar esta integral, tenemos para el trabajo

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}}\left(-\frac{G m_{\operatorname{sun}} m}{r^{2}}\right) d r=\left.\frac{G m_{\mathrm{sun}} m}{r}\right|_{r_{i}} ^{r_{f}}=G m_{\mathrm{sun}} m\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right) \nonumber \]

Porque el cuerpo se ha acercado más al sol,\(r_{f}<r_{i}\), de ahí\(1 / r_{f}>1 / r_{i}\). Así el trabajo realizado por la fuerza de gravitación entre el sol y el cuerpo, sobre el cuerpo es positivo,

\[W=G m_{\operatorname{sun}} m\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)>0 \nonumber \]

Esperamos este resultado porque la fuerza de gravitación apunta a lo largo de la dirección radial hacia adentro, por lo que el producto escalar y por lo tanto el trabajo de la fuerza y el desplazamiento es positivo cuando el cuerpo se acerca al sol. También esperamos que el signo de la obra sea el mismo para un cuerpo que se acerca al sol que un cuerpo que cae hacia la tierra en un campo de gravitación constante, como se ve en el Ejemplo 4.7.1 anterior.

Ejemplo 13.14 Trabajo realizado por la Fuerza Eléctrica Cuadrada Inversa

Consideremos dos cuerpos puntuales, el cuerpo 1 y el cuerpo 2, con cargas\(q_{1}\) e interactuando\(q_{2}\) respectivamente solo a través de la fuerza eléctrica. El cuerpo 1 se fija en su lugar mientras que el cuerpo 2 es libre de moverse en un plano orbital. ¿Cuánto trabajo hace la fuerza eléctrica en el cuerpo 2 durante este movimiento?

Solución: El cálculo es casi idéntico al cálculo del trabajo realizado por la fuerza cuadrada inversa gravitacional en el Ejemplo 13.13. La diferencia más significativa es que la fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva mientras que la fuerza de gravitación siempre es atractiva. Una vez más elegimos coordenadas polares centradas en el cuerpo 2 en el plano de la órbita. Inicialmente una distancia\(r_{0}\) separa los cuerpos y en el estado final una distancia\(r_{f}\) separa los cuerpos. La fuerza eléctrica entre los cuerpos viene dada por

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\mathrm{elec}}=F_{\mathrm{elec}} \hat{\mathbf{r}}=F_{\text {elec}, r} \hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

El trabajo realizado por esta fuerza eléctrica en el cuerpo 2 viene dado por la integral

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{e l e c} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{r}}=\int_{r_{i}}^{r_{f}} F_{e l e c, r} d r=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{r_{i}}^{r_{f}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} d r \nonumber \]

Evaluando esta integral, tenemos para el trabajo realizado por la fuerza eléctrica

\[W=\int_{r_{i}}^{r_{f}} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} d r=-\left.\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}\right|_{r_{i}} ^{r_{f}}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{1} q_{2}\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right) \nonumber \]

Si las cargas tienen signos opuestos,\(q_{1} q_{2}<0\), esperamos que el cuerpo 2 se acerque al cuerpo 1 así\(r_{f}<r_{i}\) y\(1 / r_{f}>1 / r_{i}\). De nuestro resultado para el trabajo, el trabajo realizado por fuerza eléctrica en el cuerpo móvil 2 es positivo,

\[W=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{1} q_{2}\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)>0 \nonumber \]

Una vez más vemos que los cuerpos bajo la influencia de las fuerzas eléctricas sólo se moverán naturalmente en las direcciones en las que la fuerza realiza un trabajo positivo. Si los cargos tienen la misma señal, entonces\(q_{1} q_{2}>0\). Se repelerán con\(r_{f}>r_{i}\) y\(1 / r_{f}<1 / r_{i}\). Así el trabajo vuelve a ser positivo:

\[W=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} q_{1} q_{2}\left(\frac{1}{r_{f}}-\frac{1}{r_{i}}\right)>0 \nonumber \]