16.4: Conservación de Energía para Rotación de Eje Fijo
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Considerar un sistema cerrado\(\left(\Delta E_{\text {system}}=0\right)\) bajo acción únicamente de fuerzas internas conservadoras. Entonces el cambio en la energía mecánica del sistema es cero
\[\Delta E_{m}=\Delta U+\Delta K=\left(U_{f}+K_{f}\right)-\left(U_{i}+K_{i}\right)=0 \nonumber \]
Para la rotación de eje fijo con un componente de velocidad angular ω alrededor del eje fijo, el cambio en la energía cinética viene dado por
\[\Delta K \equiv K_{f}-K_{i}=\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2}-\frac{1}{2} I_{S} \omega_{i}^{2} \nonumber \]
donde\(S\) es un punto que se encuentra sobre el eje fijo. Entonces la conservación de la energía implica que
\[U_{f}+\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2}=U_{i}+\frac{1}{2} I_{S} \omega_{i}^{2} \nonumber \]
Ejemplo 16.4 Sistema de Energía y Poleas
Una rueda en forma de disco uniforme de radio R y masa\(m_{\mathrm{p}}\) se monta en un eje horizontal sin fricción. La rueda tiene momento de inercia alrededor del centro de masa\(I_{\mathrm{cm}}=(1 / 2) m_{\mathrm{p}} R^{2}\) Un cordón sin masa se envuelve alrededor de la rueda y un extremo del cordón está unido a un objeto de masa\(m_{2}\) que puede deslizarse hacia arriba o hacia abajo en un plano inclinado sin fricción. El otro extremo del cordón está unido a un segundo objeto de masa\(m_{1}\) que cuelga sobre el borde del plano inclinado. El plano está inclinado desde la horizontal por un ángulo θ (Figura 16.12). Una vez que los objetos se liberan del reposo, el cable se mueve sin deslizarse alrededor del disco. Calcular la velocidad del bloque 2 en función de la distancia que se mueve hacia abajo por el plano inclinado utilizando técnicas de energía. Supongamos que no hay pérdidas de energía debido a la fricción y que la cuerda no se desliza alrededor de la polea
Solución: Definir un sistema de coordenadas como se muestra en la Figura 16.13. Elija el cero para la energía potencial gravitacional a una altura igual al centro de la polea. En la Figura 16.14 se ilustran los diagramas de energía para el estado inicial y un estado dinámico en un momento arbitrario cuando los bloques se deslizan.
Entonces la energía mecánica inicial es
\[E_{i}=U_{i}=-m_{1} g y_{1, i}-m_{2} g x_{2, i} \sin \theta \nonumber \]
La energía mecánica, cuando el bloque 2 se ha movido una distancia
\[d=x_{2}-x_{2, i} \nonumber \]
está dado por
\[E=U+K=-m_{1} g y_{1}-m_{2} g x_{2} \sin \theta+\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}+\frac{1}{2} I_{p} \omega^{2} \nonumber \]
La cuerda conecta los dos bloques, y así los bloques se mueven a la misma velocidad
\[v \equiv v_{1}=v_{2} \nonumber \]
La cuerda no se desliza sobre la polea; por lo tanto, a medida que la cuerda se mueve alrededor de la polea, la velocidad tangencial de la cuerda es igual a la velocidad de los bloques
\[v_{\tan }=R \omega=v \nonumber \]
La ecuación (16.3.6) ahora se puede simplificar
\[E=U+K=-m_{1} g y_{1}-m_{2} g x_{2} \sin \theta+\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}+\frac{I_{P}}{R^{2}}\right) v^{2} \nonumber \]
Porque hemos asumido que no hay pérdida de energía mecánica, podemos establecer\(E_{i}=E\) y encontrar que
\[-m_{1} g y_{1, i}-m_{2} g x_{2, i} \sin \theta=-m_{1} g y_{1}-m_{2} g x_{2} \sin \theta+\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}+\frac{I_{P}}{R^{2}}\right) v^{2} \nonumber \]
lo que simplifica
\[-m_{1} g\left(y_{1,0}-y_{1}\right)+m_{2} g\left(x_{2}-x_{2,0}\right) \sin \theta=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}+\frac{I_{P}}{R^{2}}\right) v^{2} \nonumber \]
Finalmente observamos que el movimiento del bloque 1 y el bloque 2 están restringidos por la relación
\[d=x_{2}-x_{2, i}=y_{1, i}-y_{1} \nonumber \]
Entonces la Ecuación (16.3.11) se convierte
\[g d\left(-m_{1}+m_{2} \sin \theta\right)=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}+\frac{I_{P}}{R^{2}}\right) v^{2} \nonumber \]
Ahora podemos resolver para la velocidad en función de la distancia\(d=x_{2}-x_{2, i}\) que el bloque 2 ha recorrido por el plano inclinado
\[v=\sqrt{\frac{2 g d\left(-m_{1}+m_{2} \sin \theta\right)}{\left(m_{1}+m_{2}+\left(I_{P} / R^{2}\right)\right)}} \nonumber \]
Si asumimos que el momento de inercia de la polea es\(I_{\mathrm{cm}}=(1 / 2) m_{\mathrm{p}} R^{2}\), entonces la velocidad se vuelve
\[v=\sqrt{\frac{2 g d\left(-m_{1}+m_{2} \sin \theta\right)}{\left(m_{1}+m_{2}+(1 / 2) m_{P}\right)}} \nonumber \]
Ejemplo 16.5 Péndulo Físico
Un péndulo físico consiste en una varilla uniforme de masa\(m_{1}\) pivotada en un extremo alrededor del punto\(S\). La varilla tiene longitud\(l_{1}\) y momento de inercia\(I_{1}\) alrededor del punto de pivote. Un disco de masa\(m_{2}\) y radio\(r_{2}\) con momento de inercia\(I_{\mathrm{cm}}\) alrededor de su centro de masa está unido rígidamente a una\(l_{2}\) distancia del punto de pivote. El péndulo se desplaza inicialmente a un ángulo\(\theta_{i}\) y luego se libera del reposo. a) ¿Cuál es el momento de inercia del péndulo físico sobre el punto de pivote\(S\)? b) ¿A qué distancia del punto de pivote se encuentra el centro de masa del sistema? c) ¿Cuál es la velocidad angular del péndulo cuando el péndulo se encuentra en el fondo de su oscilación?
Solución: a) El momento de inercia sobre el punto de pivote es la suma del momento de inercia de la varilla, dado como\(I_{1}\), y el momento de inercia del disco alrededor del punto de pivote. El momento de inercia del disco alrededor del punto de pivote se encuentra a partir del teorema del eje paralelo,
\[I_{\text {disc }}=I_{\mathrm{cm}}+m_{2} l_{2}^{2} \nonumber \]
El momento de inercia del sistema que consiste en la varilla y el disco alrededor del punto de pivote\(S\) es entonces
\[I_{S}=I_{1}+I_{\mathrm{disc}}=I_{1}+I_{\mathrm{cm}}+m_{2} l_{2}^{2} \nonumber \]
El centro de masa del sistema se encuentra a una distancia del punto de pivote
\[l_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{1}\left(l_{1} / 2\right)+m_{2} l_{2}}{m_{1}+m_{2}} \nonumber \]
b) Podemos utilizar la conservación de la energía mecánica, para encontrar la velocidad angular del péndulo en la parte inferior de su oscilación. Tomar el punto cero de la energía potencial gravitacional para ser el punto donde el fondo de la varilla se encuentra en su punto más bajo, es decir,\(\theta=0\). El diagrama de energía de estado inicial para la varilla se muestra en la Figura 16.16a y el diagrama de energía de estado inicial para el disco se muestra en la Figura 16.16b.
La energía mecánica inicial es entonces
\[E_{i}=U_{i}=m_{1} g\left(l_{1}-\frac{l_{1}}{2} \cos \theta_{i}\right)+m_{2} g\left(l_{1}-l_{2} \cos \theta_{i}\right) \nonumber \]
En la parte inferior de la oscilación\(\theta_{f}=0\),, y el sistema tiene velocidad angular ω f. La energía mecánica en la parte inferior del columpio es
\[E_{f}=U_{f}+K_{f}=m_{1} g \frac{l_{1}}{2}+m_{2} g\left(l_{1}-l_{2}\right)+\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2} \nonumber \]
con\(I_{S}\) como se encuentra en la Ecuación (16.3.17). No hay fuerzas no conservadoras que actúen, por lo que la energía mecánica es constante, por lo tanto, equiparando las expresiones en (16.3.19) y (16.3.20) obtenemos que
\[m_{1} g\left(l_{1}-\frac{l_{1}}{2} \cos \theta_{i}\right)+m_{2} g\left(l_{1}-l_{2} \cos \theta_{i}\right)=m_{1} g \frac{l_{1}}{2}+m_{2} g\left(l_{1}-l_{2}\right)+\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2} \nonumber \]
Esto simplifica
\[\left(\frac{m_{1} l_{1}}{2}+m_{2} l_{2}\right) g\left(1-\cos \theta_{i}\right)=\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2} \nonumber \]
Ahora resolvemos para\(\omega_{f}\) (tomando la raíz cuadrada positiva para asegurar que estamos calculando la velocidad angular)
\[\omega_{f}=\sqrt{\frac{2\left(\frac{m_{1} l_{1}}{2}+m_{2} l_{2}\right) g\left(1-\cos \theta_{i}\right)}{I_{S}}} \nonumber \]
Finalmente sustituimos en la Ecuación (16.3.17) en la Ecuación (16.3.23) y encontramos
\[\omega_{f}=\sqrt{\frac{2\left(\frac{m_{1} l_{1}}{2}+m_{2} l_{2}\right) g\left(1-\cos \theta_{i}\right)}{I_{1}+I_{\mathrm{cm}}+m_{2} l_{2}^{2}}} \nonumber \]
Tenga en cuenta que podemos reescribir la Ecuación (16.3.22), usando la Ecuación (16.3.18) para la distancia entre el centro de masa y el punto de pivote, para obtener
\[\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{c m} g\left(1-\cos \theta_{i}\right)=\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2} \nonumber \]
Podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera. Tratar el sistema como una partícula puntual de masa\(m_{1}+m_{2}\) ubicada en el centro de masa\(l_{c m}\). Tomar el punto cero de la energía potencial gravitacional para ser el punto donde el centro de masa está en su punto más bajo, es decir,\(\theta=0\). Entonces
\[E_{i}=\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{c m} g\left(1-\cos \theta_{i}\right) \nonumber \]
\[E_{f}=\frac{1}{2} I_{S} \omega_{f}^{2} \nonumber \]
Así, la conservación de la energía reproduce la Ecuación (16.3.25).