16.3: Energía cinética rotacional y momento de inercia

Energía cinética rotacional y momento de inercia

Ya hemos definido la energía cinética traslacional para un objeto puntual como\(K=(1 / 2) m v^{2}\); ahora definimos la energía cinética rotacional para un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Elemento de volumen sometido a rotación de eje fijo alrededor del eje z que pasa por el centro de masa. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Elija el eje z para que quede a lo largo del eje de rotación que pasa por el centro de masa. Como se discutió anteriormente, dividir el cuerpo en elementos de volumen de masa\(\Delta m_{i}\) (Figura\(\PageIndex{1}\)). Cada elemento de masa individual\(\Delta m_{i}\) experimenta un movimiento circular alrededor del centro de masa con componente z de velocidad angular\(\omega_{\mathrm{cm}}\) en un círculo de radio\(r_{\mathrm{cm}, i}\). Por lo tanto la velocidad de cada elemento viene dada por\(\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\mathrm{cm}, i}=r_{\mathrm{cm}, i} \omega_{\mathrm{cm}} \hat{\boldsymbol{\theta}}\). La energía cinética rotacional es entonces

\[K_{\mathrm{cm}, i}=\frac{1}{2} \Delta m_{i} v_{\mathrm{cm}, i}^{2}=\frac{1}{2} \Delta m r_{i} r_{\mathrm{cm}, i}^{2} \omega_{\mathrm{cm}}^{2} \nonumber \]

Ahora sumamos la energía cinética para todos los elementos de masa,

\ [\ begin {alineado}
K_ {\ mathrm {cm}} &=\ lim _ {i\ fila derecha\ infty\ arriba\ Delta m_ {i}\ fila derecha 0}\ suma_ {i=1} ^ {i=n} K_ {\ mathrm {cm}, i} =\ lim _ {i\ fila derecha\ infty}\ sum_ {\ Delta m_ {i}\ fila derecha 0} ^ {i=n}\ izquierda (\ suma_ {i}\ frac {1} {2}\ Delta m_ {i} r_ {\ mathrm {cm}, i} ^ {2}\ derecha)\ omega_ {\ mathrm {cm}} ^ {2 }\\
&=\ izquierda (\ frac {1} {2}\ int_ {\ mathrm {cuerpo}} d m r_ {\ mathrm {dm}} ^ {2}\ derecha)\ omega_ {\ mathrm {cm}} ^ {2}
\ end {alineado}\ nonumber\]

donde\(dm\) es un elemento de masa infinitesimal sometido a una órbita circular de radio\(r_{d m}\) alrededor del eje que pasa por el centro de masa.

La cantidad

\[I_{c m}=\int_{body} r_{d m}^{2}\,dm \nonumber \]

se llama el momento de inercia del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de masa, y es una propiedad física del cuerpo. Las unidades SI para momentos de inercia son\(\left[\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}\right]\).

Así

\[K_{\mathrm{cm}}=\left(\frac{1}{2} \int_{\mathrm{body}} r_{\mathrm{dm}}^{2}\, dm \right) \omega_{\mathrm{cm}}^{2} \equiv \frac{1}{2} I_{c m} \omega_{\mathrm{cm}}^{2} \nonumber \]

Momento de inercia de una varilla de densidad de masa uniforme

Considera una varilla delgada y uniforme de longitud\(L\) y masa\(m\). En este problema, calcularemos el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masa de la varilla. En la Figura se muestra un boceto de la varilla, el elemento de volumen y el eje\(\PageIndex{2}\). Elija coordenadas cartesianas, con el origen en el centro de masa de la varilla, que está a medio camino entre los extremos ya que la varilla es uniforme. Elija el eje x para que quede a lo largo de la longitud de la varilla, con la dirección x positiva hacia la derecha, como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Momento de inercia de una varilla uniforme alrededor del centro de masa. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Identificar un elemento de masa infinitesimal\(d m=\lambda d x\), ubicado a un desplazamiento x desde el centro de la varilla, donde la masa por unidad de longitud\(\lambda=m / L\) es una constante, ya que hemos asumido que la varilla es uniforme. Cuando la varilla gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masa de la varilla, el elemento traza un círculo de radio\(r_{d m}=x\). Sumamos las contribuciones de cada elemento infinitesimal a medida que avanzamos de\(x=-L / 2\) a\(x=L / 2\). La integral es entonces

\ [\ begin {align}
I_ {\ mathrm {cm}} &=\ int_ {\ text {cuerpo}} r_ {d\ mathrm {m}} ^ {2} d m\ label {eq5}\\ [4pt] &=\ lambda\ int_ {-L/2} ^ {L/2}\ izquierda (x^ {2}\ derecha) d x= izquierda\. \ lambda\ frac {x^ {3}} {3}\ derecha|_ {-L/2} ^ {L/2}\\ [4pt]
&=\ frac {m} {L}\ frac {(L/2) ^ {3}} {3} -\ frac {m} {L}\ frac {(-L/2) ^ {3}} {3} =\ frac {1} {12} m L^ {2}
\ end {align}\ nonumber\]

Al usar una masa constante por unidad de longitud a lo largo de la varilla, no es necesario considerar variaciones en la densidad de masa en ninguna dirección que no sea el eje x. También asumimos que el ancho es la varilla es despreciable. (Técnicamente debemos tratar la varilla como un cilindro o un rectángulo en el plano XY si el eje está a lo largo del eje z. El cálculo del momento de inercia en estos casos sería más complicado.)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Moment of Inertia of a Uniform Disk

Un disco delgado y uniforme de masa\(M\) y radio\(R\) se monta sobre un eje que pasa por el centro del disco, perpendicular al plano del disco. Calcular el momento de inercia alrededor de un eje que pasa perpendicular al disco a través del centro de masa del disco

Solución

Como punto de partida, considere la contribución al momento de inercia desde el elemento de masa que se\(dm\) muestra en\(\PageIndex{3}\). Dejar\(r\) denotar la distancia desde el centro de masa del disco hasta el elemento de masa.

Figura\(\PageIndex{3}\): Elemento de masa infinitesimal y sistema de coordenadas para disco. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Elija coordenadas cilíndricas con las coordenadas\((r, \theta)\) en el plano y el eje z perpendicular al plano. El elemento de área

\[d a=r dr d\theta \nonumber \]

puede pensarse como el producto de la longitud del arco\(r d \theta\) y la anchura radial\(dr\). Dado que el disco es uniforme, la masa por unidad de área es una constante,

\[\sigma=\frac{d m}{d a}=\frac{m_{\text {total }}}{\text { Area }}=\frac{M}{\pi R^{2}} \nonumber \]

Por lo tanto, la masa en el elemento de área infinitesimal dada en la Ecuación\ ref {16.2.6}, una\(r\) distancia del eje de rotación, viene dada por

\[d m=\sigma r d r d \theta=\frac{M}{\pi R^{2}} r\, dr\, d\theta \label{16.2.6} \]

Cuando el disco gira, el elemento de masa traza un círculo de radio\(r_{d m}=r\); es decir, la distancia desde el centro es la distancia perpendicular al eje de rotación. El momento de inercia integral es ahora una integral en dos dimensiones; el ángulo\(θ\) varía de\(\theta=0 \text { to } \theta=2 \pi\), y la coordenada radial r varía de\(r = 0\) a\(r = R\). Así los límites de la integral son

\[I_{\mathrm{cm}}=\int_{\mathrm{body}} r_{d m}^{2} d m=\frac{M}{\pi R^{2}} \int_{r=0}^{r=R} \int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} r^{3} d \theta d r \nonumber \]

La integral ahora se puede calcular explícitamente integrando primero la\(θ\) coordenada

\[I_{\mathrm{cm}}=\frac{M}{\pi R^{2}} \int_{r=0}^{r=R}\left(\int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} d \theta\right) r^{3} d r=\frac{M}{\pi R^{2}} \int_{r=0}^{r=R} 2 \pi r^{3} d r=\frac{2 M}{R^{2}} \int_{r=0}^{r=R} r^{3} d r \nonumber \]

y luego integrando la\(r\) coordenada,

\[I_{\mathrm{cm}}=\frac{2 M}{R^{2}} \int_{r=0}^{r=R} r^{3} d r=\left.\frac{2 M}{R^{2}} \frac{r^{4}}{4}\right|_{r=0} ^{r=R}=\frac{2 M}{R^{2}} \frac{R^{4}}{4}=\frac{1}{2} M R^{2} \nonumber \]

Observación: En lugar de tomar el elemento de área como un pequeño parche\(d a=r d r d \theta\), elija un anillo de radio\(r\) y ancho\(dr\). Entonces el área de este anillo viene dada por

\[d a_{\text {ring }}=\pi(r+d r)^{2}-\pi r^{2}=\pi r^{2}+2 \pi r d r+\pi(d r)^{2}-\pi r^{2}=2 \pi r d r+\pi(d r)^{2} \nonumber \]

En el límite que\(d r \rightarrow 0\), el término proporcional a\((d r)^{2}\) puede ser ignorado y el área es\(d a=2 \pi r d r\). Esto equivale a integrar primero la\(dθ\) variable

\[d a_{\mathrm{ring}}=r d r\left(\int_{\theta=0}^{\theta=2 \pi} d \theta\right)=2 \pi r d r \nonumber \]

Entonces el elemento de masa es

\[d m_{\text {ring }}=\sigma d a_{\text {ring }}=\frac{M}{\pi R^{2}} 2 \pi r d r \nonumber \]

El momento de inercia integral es solo una integral en la variable\(r\),

\[I_{\mathrm{cm}}=\int_{\mathrm{body}}\left(r_{\perp}\right)^{2} d m=\frac{2 \pi M}{\pi R^{2}} \int_{r=0}^{r=R} r^{3} d r=\frac{1}{2} M R^{2} \nonumber \]

Teorema del eje paralelo

Considera un cuerpo rígido de masa m sometido a rotación de eje fijo. Considera dos ejes paralelos. El primer eje pasa por el centro de masa del cuerpo, y el momento de inercia alrededor de este primer eje es\(I_{\mathrm{cm}}\) El segundo eje pasa por algún otro punto\(S\) del cuerpo. Dejar\(d_{S, \mathrm{cm}}\) denotar la distancia perpendicular entre los dos ejes paralelos (Figura\(\PageIndex{4}\)).

Figura\(\PageIndex{4}\): Geometría del teorema del eje paralelo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Entonces el momento de inercia\(I_{S}\) alrededor de un eje que pasa\(I_{\mathrm{cm}}\) por un punto\(S\) está relacionado con

\[I_{S}=I_{\mathrm{cm}}+m d_{S, \mathrm{cm}}^{2} \label{16.2.16} \]

Teorema de eje paralelo aplicado a una varilla uniforme

Deje que el punto\(S\) sea el extremo izquierdo de la varilla de la Figura\(\PageIndex{4}\). Entonces la distancia desde el centro de masa hasta el extremo de la varilla es\(d_{S, \mathrm{cm}}=L / 2\) El momento de inercia\(I_{S}=I_{\mathrm{end}}\) alrededor de un eje que pasa por el punto final se relaciona con el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa,\(I_{\mathrm{cm}}=(1 / 12) m L^{2}\), de acuerdo con la Ecuación\ ref {16.2.16},

\[I_{S}=\frac{1}{12} m L^{2}+\frac{1}{4} m L^{2}=\frac{1}{3} m L^{2} \nonumber \]

En este caso es fácil y útil verificar por cálculo directo. Usa la ecuación\ ref {eq5} pero con los límites cambiados a\(x^{\prime}=0\) y\(x^{\prime}=L\), donde\(x^{\prime}=x+L / 2\),

\ [\ begin {alineado}
I_ {\ text {end}} &=\ int_ {\ text {cuerpo}} r_ {\ perp} ^ {2} d m=\ lambda\ int_ {0} ^ {L} x^ {\ prime 2} d x^ {\ prime}\\ prime}\\
&=\ izquierda. \ lambda\ frac {x^ {\ prime 3}} {3}\ derecha|_ {0} ^ {L} =\ frac {m} {L}\ frac {(L) ^ {3}} {3} -\ frac {m} {L}\ frac {(0) ^ {3}} {3} =\ frac {1} {3} m L^ {2}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Rotational Kinetic Energy of Disk

Un disco con masa\(M\) y radio\(R\) está girando con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por el borde del disco perpendicular a su plano. El momento de inercia sobre cm es\(I_{c m}=(1 / 2) m R^{2}\). ¿Cuál es la energía cinética del disco?

Solución

El teorema del eje paralelo establece que el momento de inercia alrededor de un eje que pasa perpendicular al plano del disco y que pasa por un punto en el borde del disco es igual a

\[I_{e d g e}=I_{c m}+m R^{2} \nonumber \]

El momento de inercia alrededor de un eje que pasa perpendicular al plano del disco y que pasa por el centro de masa del disco es igual a\( I_{c m}=(1 / 2) m R^{2}\). Por lo tanto

\[I_{e d g e}=(3 / 2) m R^{2} \nonumber \]

La energía cinética es entonces

\[K=(1 / 2) I_{e d g e} \omega^{2}=(3 / 4) m R^{2} \omega^{2} \nonumber \]