18.5: Apéndice 18A Los pares de torsión Acerca de dos puntos son iguales para un cuerpo en equilibrio estático
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Cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, los pares alrededor de dos puntos cualesquiera son iguales. Para mostrar esto, considere dos puntos cualesquiera A y B. Elija un sistema de coordenadas con origen O y denote el vector constante de A a B por\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B}\). Supongamos que una fuerza\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}\) está actuando en el punto\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{\mathrm{O}, i}\). El vector desde el punto A hasta el punto donde actúa la fuerza se denota por\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, i}\), y los vectores desde el punto B hasta el punto donde actúa la fuerza se denota por\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{B, i}\).
En la Figura 18A.1, los vectores de posición satisfacen
\[\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, i}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{B, i} \nonumber \]
La suma de los pares sobre el punto A viene dada por
\[\vec{\tau}_{A}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, i} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i} \nonumber \]
La suma de los pares sobre el punto B viene dada por
\[\vec{\tau}_{B}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{B, i} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i} \nonumber \]
Ahora podemos sustituir la Ecuación (18.A.1) en la Ecuación (18.A.2) y encontrar que
\[\vec{\tau}_{A}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, i} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\sum_{i=1}^{i=N}\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B}+\overrightarrow{\mathbf{r}}_{B, i}\right) \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}+\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{B, i} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i} \nonumber \]
En el último término de la Ecuación (18.A.4), el vector\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B}\) es constante y así puede tomarse fuera de la suma,
\[\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{A, B} \times \sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i} \nonumber \]
Estamos asumiendo que no hay fuerza neta sobre el cuerpo, y así la suma de las fuerzas sobre el cuerpo es cero,
\[\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]
Por lo tanto, el par sobre el punto A, Ecuación (18.A.2), se convierte
\[\vec{\tau}_{A}=\sum_{i=1}^{i=N} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{B, i} \times \overrightarrow{\mathbf{F}}_{i}=\vec{\tau}_{B} \nonumber \]
Para los problemas de equilibrio estático, el resultado de la Ecuación (18.A.7) nos dice que no importa qué punto usemos para determinar los pares. De hecho, señalar que la posición del origen elegido no afectó en absoluto al resultado. Elegir el punto sobre el cual calcular los pares (denominados diversamente “A”, “B”, “\(S\)” o a veces “O”) para que fuerzas desconocidas no ejerzan pares sobre ese punto a menudo puede simplificar enormemente los cálculos.