22.1: Introducción a las rotaciones tridimensionales

La mayoría de los ejemplos y aplicaciones que hemos considerado se refieren a la rotación de cuerpos rígidos alrededor de un eje fijo. Sin embargo, hay muchos ejemplos de cuerpos rígidos que giran alrededor de un eje que está cambiando su dirección. Una rueda de bicicleta giratoria, un giroscopio, la precesión de la tierra alrededor de su eje, una peonza y una moneda rodando sobre una mesa son ejemplos de este tipo de movimiento. Estos movimientos pueden ser muy complejos y difíciles de analizar. Sin embargo, para cada uno de estos movimientos sabemos que si hay un par distinto de cero alrededor de un punto\(S\), entonces el momento angular alrededor\(S\) debe cambiar en el tiempo, de acuerdo con la ecuación rotacional del movimiento,

\[\vec{\tau}_{S}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}}{d t} \nonumber \]

También sabemos que el momento angular alrededor\(S\) de un cuerpo giratorio es la suma del momento angular orbital alrededor\(S\) y el momento angular de giro alrededor del centro de masa.

\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{L}}_{S}^{\text {otbial }}+\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\text {spin }} \nonumber \]

Para la rotación de eje fijo, el momento angular de giro alrededor del centro de masa es solo

\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\mathrm{spin}}=I_{\mathrm{cm}} \overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{\mathrm{cm}} \nonumber \]

donde\(\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{\mathrm{cm}}\) es la velocidad angular alrededor del centro de masa y se dirige a lo largo del eje fijo de rotación.

Velocidad angular para rotaciones tridimensionales

Cuando el eje de rotación ya no es fijo, la velocidad angular ya no apuntará en una dirección fija.

Para un objeto que está rotando con coordenadas angulares\(\left(\theta_{x}, \theta_{y}, \theta_{z}\right)\) alrededor de cada eje cartesiano respectivo, la velocidad angular de un objeto que está girando alrededor de cada eje se define como

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ boldsymbol {\ omega}} =\ frac {d\ theta_ {x}} {d t}\ sombrero {\ mathbf {i}} +\ frac {d\ theta_ {y}} {d t}\ sombrero {\ mathbf {j}} +\ frac {d\ theta_ {z}} {d t}\ sombrero {\ mathbf {k}}\\
=\ omega_ {x}\ sombrero {\ mathbf {i}} +\ omega_ {y}\ sombrero {\ mathbf {j}} +\ omega_ {z}\ sombrero {\ mathbf {k}}
\ end {array}\ nonumber\]

Esta definición es el resultado de una propiedad de rotaciones angulares muy pequeñas (infinitesimales) en las que el orden de las rotaciones sí importa. Por ejemplo, considere un objeto que se someta a una rotación alrededor del eje x\(\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{x}=\omega_{x} \hat{\mathbf{i}}\), y luego una segunda rotación alrededor del eje y,\(\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{y}=\omega_{y} \hat{\mathbf{j}}\). Consideremos ahora una secuencia diferente de rotaciones. El objeto primero se somete a una rotación alrededor del eje y\(\vec{\omega}_{y}=\omega_{y} \hat{j}\), y luego se somete a una segunda rotación alrededor del eje x,\(\vec{\omega}_{x}=\omega_{x} \hat{\mathbf{i}}\). En ambos casos el objeto terminará en la misma posición indicó que\(\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{x}+\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{y}=\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{y}+\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}_{x}\) una condición necesaria que debe cumplirse para que una cantidad física sea una cantidad vectorial.

Ejemplo 22.1 Velocidad angular de una rueda de bicicleta rodante

Una rueda de bicicleta de masa m y radio R rueda sin deslizarse alrededor del eje z. Un eje de longitud b pasa por su centro. La rueda de la bicicleta se somete a dos rotaciones simultáneas. La rueda gira alrededor del eje z con velocidad angular Ω y velocidad angular asociada\(\overrightarrow{\mathbf{\Omega}}=\Omega_{z} \hat{\mathbf{k}}\) (Figura 22.1). Debido a que la rueda gira sin deslizarse, está girando alrededor de su centro de masa con velocidad angular\(\omega_{\mathrm{spin}}\) y velocidad angular asociada\(\vec{\omega}_{\operatorname{spin}}=-\omega_{\operatorname{spin}} \hat{\mathbf{r}}\)

Figura 22.1 Ejemplo 22.1

La velocidad angular de la rueda es la suma de estas dos contribuciones vectoriales

\[\vec{\omega}=\Omega \hat{\mathbf{k}}-\omega_{\mathrm{spin}} \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

Debido a que la rueda está rodando sin resbalar,\(v_{\mathrm{cm}}=b \Omega=\omega_{\mathrm{spin}} R \text { and so } \omega_{\mathrm{spin}}=b \Omega / R\). La velocidad angular es entonces

\[\overrightarrow{\boldsymbol{\omega}}=\Omega(\hat{\mathbf{k}}-(b / R) \hat{\mathbf{r}}) \nonumber \]

El momento angular orbital alrededor del punto\(S\) donde el eje se encuentra con el eje de rotación (Figura 22.1), es entonces

\ begin {ecuación}\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} ^ {\ texto {ortital}} =b m v_ {\ mathrm {cm}}\ sombrero {\ mathbf {k}} =m b^ {2}\ Omega\ sombrero {\ mathbf {k}}\ fin {ecuación}

El momento angular de giro alrededor del centro de masa es más complicado. La rueda gira alrededor tanto del eje z como del eje radial. Por lo tanto

\[\overrightarrow{\mathbf{L}}_{\mathrm{cm}}^{\mathrm{spin}}=I_{z} \Omega \hat{\mathbf{k}}+I_{r} \omega_{\mathrm{spin}}(-\hat{\mathbf{r}}) \nonumber \]

Por lo tanto, el momento angular alrededor\(S\) es la suma de estas dos contribuciones

\ [\ begin {array} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {L}} _ {S} =m b^ {2}\ Omega\ hat {\ mathbf {k}} +I_ {z}\ Omega\ hat {\ mathbf {k}} +I_ {r}\ omega_ {\ text {spin}} (-\ hat {\ mathbf {r}})\\
=\ izquierda (m b^ {2}\ Omega+I_ {z}\ Omega\ derecha)\ sombrero {\ mathbf {k}} -I_ {r} (b\ Omega/R)\ sombrero {\ mathbf {r}}
\ end { matriz}\ nonumber\]

Comparando las Ecuaciones (22.1.6) y (22.1.9), observamos que el momento angular alrededor no\(S\) es proporcional a la velocidad angular.