24.2: Péndulo Físico
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La fuerza gravitacional actúa en el centro de masa del péndulo físico. Denote la distancia del centro de masa al punto de pivote\(S\) por\(l_{\mathrm{cm}}\). El análisis de par es casi idéntico al péndulo simple. El par sobre el punto de pivote\(S\) viene dado por
\[\vec{\tau}_{S}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{S, \mathrm{cm}} \times m \overrightarrow{\mathrm{g}}=l_{\mathrm{cm}} \hat{\mathbf{r}} \times m g(\cos \theta \hat{\mathbf{r}}-\sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}})=-l_{\mathrm{cm}} m g \sin \theta \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Siguiendo los mismos pasos que llevaron de la Ecuación (24.1.1) a la Ecuación (24.1.4), la ecuación rotacional para el péndulo físico es
\[-m g l_{\mathrm{cm}} \sin \theta=I_{S} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]
donde\(I_{s}\) el momento de inercia sobre el punto de pivote\(S\). Al igual que con el péndulo simple, para ángulos pequeños\(\sin \theta \approx \theta\), la ecuación (24.2.2) se reduce a la ecuación del oscilador armónico simple
\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \simeq-\frac{m g l_{\mathrm{cm}}}{I_{S}} \theta \nonumber \]
La ecuación para el ángulo\(\theta(t)\) viene dada por
\[\theta(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \sin \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]
donde la frecuencia angular viene dada por
\[\omega_{0} \simeq \sqrt{\frac{m g l_{\mathrm{cm}}}{I_{S}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber \]
y el periodo es
\[T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}} \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{I_{S}}{m g l_{\mathrm{cm}}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber \]
Sustituir el teorema del eje paralelo,\(I_{S}=m l_{\mathrm{cm}}^{2}+I_{\mathrm{cm}}\) en la Ecuación (24.2.6) con el resultado de que
\[T \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{l_{\mathrm{cm}}}{g}+\frac{I_{\mathrm{cm}}}{m g l_{\mathrm{cm}}}} \quad(\text { physical pendulum }) \nonumber \]
Así, si el objeto es “pequeño” en el sentido de que\(I_{\mathrm{cm}}<<m l_{\mathrm{c}}^{2}\), las expresiones para el péndulo físico se reducen a las del péndulo simple. El componente z de la velocidad angular viene dado por
\[\omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)=-\omega_{0} A \sin \left(\omega_{0} t\right)+\omega_{0} B \cos \left(\omega_{0} t\right) \nonumber \]
Los coeficientes A y B se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales estableciendo t = 0 en las Ecuaciones (24.2.4) y (24.2.8) dando como resultado las condiciones que
\ [\ begin {array} {l}
A=\ theta (t=0)\ equiv\ theta_ {0}\\
B=\ frac {\ omega_ {z} (t=0)} {\ omega_ {0}}\ equiv\ frac {\ omega_ {z, 0}} {\ omega_ {0}}
\ end {nonarray}\ umber\]
Por lo tanto, las ecuaciones para el ángulo\(\theta(t) \text { and } \omega_{z}(t)=\frac{d \theta}{d t}(t)\) vienen dadas por
\ [\ begin {array} {c}
\ theta (t) =\ theta_ {0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha) +\ frac {\ omega_ {z, 0}} {\ omega_ {0}}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha)\
\ omega_ {z} (t)\ frac {d\ theta} {d t} (t) =-\ omega_ {0}\ theta_ {0}\ sin\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha) +\ omega_ {z, 0}\ cos\ izquierda (\ omega_ {0} t\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]