1.4: Curvas Planas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Curvas Planas Expresadas enx−y Coordenadas
La Figura I.7 muestra cómo una longitud elementalδs is related to the corresponding increments in x and y:
δs=√δx2+δy2=√1+(dydx)2δx=√(dxdy)2+1dy
Considere un alambre de masa por unidad de longitud (densidad lineal)λ bent into the shape y=y(x) between x=a and x=b. The mass of an element ds is λδs , por lo que la masa total es
∫λds=∫baλ√1+(dydx)2dx
Los primeros momentos de misa sobre lay - and x -axes are respectively
∫baλx√1+(dydx)2dx
y
∫baλy√1+(dydx)2dx
Si el cable es uniforme yλ is therefore not a function of x or y, λ can come outside the integral signs in Equations ??? - ???, and we hence obtain
¯x=∫bax√1+(dydx)2dx∫ba√1+(dydx)2dx
y
¯y=∫bay√1+(dydx)2dx∫ba√1+(dydx)2dx
siendo el denominador en cada una de estas expresiones simplemente la longitud total del cable.
Considera un alambre uniforme doblado en la forma del semicírculox2+y2=a2, x>0.
En primer lugar, cabe señalar que uno esperaría¯x>0.4244a (el valor para una lámina semicircular plana).
La longitud (es decir, los denominadores en Ecuaciones??? and ???) is just πa. Since there are, between x and x+δx, two elemental lengths to account for, one above and one below the x axis, the numerator of Equation ??? must be
2∫a0x√1+(dydx)2dx
En este caso
y=√a2−x2
y
dydx=−x√a2−x2
El primer momento de longitud de todo el semicírculo es
¯x=2∫a0x√1+x2a2−x2dx=2a∫a0xdx√a2−x2
A partir de este punto el alumno se deja a sus propios dispositivos para resolver esta integral y derivar¯x=2aπ=0.6366a.
Curvas Planas Expresadas en Coordenadas Polares
La Figura I.8 muestra cómo una longitud elementalδs is related to the corresponding increments in r and θ :
δs=√(δr)2+(rδθ)2=√(drdθ)2+r2δθ=√1+(rdθdr)2δr.
La masa de la curva (entreθ=a yθ=b ) es
∫βαλ√(drdθ)2+r2dθ.
Los primeros momentos sobre ely - and x -axes are (recalling that x=rcosθ and y=rsinθ )
∫βαλrcosθ√(drdθ)2+r2dθ
y
∫βαλrsinθ√(drdθ)2+r2dθ.
Si noλ es una función der or θ , obtenemos
¯x=1L∫βαrcosθ√(drdθ)2+r2dθ
y
¯y=1L∫βαrsinθ√(drdθ)2+r2dθ
donde eL es la longitud del cable.
Consideremos nuevamente el alambre uniforme de la Figura I.8 doblado en forma de semicírculo. La ecuación en coordenadas polares es simpler=a, and the integration limits are θ=−π2 to θ=+π2 y la longitud esπa .
Así
¯x=1πa∫+π/2−π/2acosθ[0−a2]12dθ=2aπ.
El lector debería ahora encontrar la posición del centro de masa de un alambre doblado en el arco de un círculo de ángulo a2α. The expression obtained should go to 2aπ medida queα va aπ2, and to a as α va a cero.