2.7: Figuras Huecas Tridimensionales. Esferas, Cilindros, Conos
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Holl ow s ph eri cal s infierno, ma ss\(m\), radio\(a\)
El ar ea de th e el zona ementaria es\(2 \pi a^{2}\sin\theta\delta\theta \) . I ts m culo es
\( m\times \frac{2\pi a^{2}\sin\theta\delta\theta}{4\pi a^{2}} = \frac{1}{2} m \sin\theta\delta\theta\)
yo ts mamá ent de i nertia es\( \frac{1}{2}m\sin\theta\delta\theta \times a^{2}\sin^{2}\theta = \frac{1}{2}ma^{2}\sin^{3}\theta\delta\theta \)
La madre ent o f inercia de toda la concha esférica es
\[ \frac{1}{2}ma^{2} \int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta\delta\theta\ = \frac{2}{3}ma^{2} \nonumber \]
Thi s resul t se puede utilizar para calcular, por integración, el momento de inercia\( \frac{2}{5}ma^{2} \) de un sol id sp aquí. O bien, si empiezas con\( \frac{2}{5}ma^{2} \) para una esfera s oli d, puedes diferenciar para encontrar el resultado\( \frac{2}{3}ma^{2} \) para una esfera h oll ow. Escribir el momento de inercia para una esfera sólida en términos de su densidad más bien t h a su masa. Después agrega una capa\(da\) y calcula el incremento\(dI\) en el momento de inercia. También podemos utilizar el momento de inercia para una esfera hueca (\( \frac{2}{3}ma^{2} \)) t o calcul comió el momento de inercia de una esfera sólida no uniforme en la que la densidad varía como\( \rho = \rho(r)\) . Para ex ampl e, si\( \rho = \rho_{0}\sqrt{1-(\frac{r}{a})^{2}} \) , s ee i f se puede demostrar que la masa de la esfera es\( 2.467\rho_{0}a^{3}\) y t hat es momento de inercia es\( \frac{1}{3}ma^{2} \) . Un mu ch m ethod más fácil se encontrará en la Sección 19.
Usin g m ethods similares a los dados para un cilindro macizo, se deja como un ejercicio para mostrar que el momento de inercia de un cilindro hueco abierto alrededor de un eje perpendicular a su longitud que pasa por su centro de masa es\( m(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{3}l^{2}) \) , q\(a\) es el radio y\(2l\) es la longitud.
La inercia madre de un cono hueco sin base de masa\(m\), radio base\(a\), alrededor del eje del cono se pudo encontrar por integración. No obstante, quienes tienen una comprensión de la manera en que el momento de inercia depende de la distribución de la masa deberían ver fácilmente, sin más preámbulos, que es el momento de inercia\( \frac{1}{2}ma^{2} \) . (L ook en el cono desde arriba; se ve como un disco, y de hecho tiene la misma distribución de masa radial que un disco uniforme.)