2.19: Momento de inercia con respecto a un punto

Por “momento de inercia” nos hemos referido hasta ahora al segundo momento de masa con respecto a un eje. Pudimos identificarlo fácilmente con la inercia rotacional con respecto al eje, es decir, la relación de un par aplicado a la aceleración angular resultante.

Ahora voy a definir el (segundo) momento de inercia con respecto a un punto, que tomaré a menos que se especifique lo contrario para significar el origen de las coordenadas. Si tenemos una colección de puntos de masa\( m_i \) a distancias\( r_ i \) del origen, defino

\[ {\bf \iota } = \sum_i m_ir_i^2 = \sum_i m_i (x^2_i +y^2_i + z^2_i ) \label{eq:2.19.1} \]

como el (segundo) momento de inercia con respecto al origen, también llamado a veces el “momento geométrico de inercia”. No puedo relacionarlo de manera obvia con un concepto dinámico simple de la misma manera que relacioné el momento de inercia con respecto a un eje con la inercia rotacional, pero veremos que de ninguna manera se trata de un mero ejercicio tedioso en aritmética, y sí tiene sus usos. El símbolo I probablemente se ha utilizado bastante en este capítulo; así que para describir el momento geométrico de inercia voy a usar el símbolo\( {\bf \iota } \).

El momento de inercia con respecto al origen es claramente algo que no depende de la orientación de ningún conjunto de bases particulares de ejes ortogonales, ya que depende únicamente de las distancias de las partículas desde el origen.

Si recuerdas las definiciones de\( A, B \) y\(C \) de la Sección 2.15, verás fácilmente que

\[ {\bf \iota } = \frac{1}{2} (A+B+C) \label{eq:2.19.2} \]

y ya señalamos (ver Ecuación 2.16.2) que\( A + B + C \) es invariante bajo rotación de ejes. En la Sección 2.18 lo expresamos de manera ligeramente más general diciendo “la traza de una matriz simétrica es invariante bajo una transformación ortogonal”. A estas alturas probablemente parece un poco menos misterioso.

La traza de una matriz simétrica es invariante bajo una transformación ortogonal

Ahora calculemos el momento geométrico de inercia de una esfera sólida uniforme de radio\(a\), masa\(m\), densidad\( \rho \), con respecto al centro de la esfera. Es

\[ {\bf \iota } = \int_{sphere}r^2dm. \label{eq:2.19.3} \]

El elemento de masa,\( dm \), aquí está la masa de un caparazón de radios\(r, r + dr; \) que es\( 4 \pi \rho r 2 dr\). Así

\[ {\bf \iota } = 4 \pi \rho \int_{0}^{a} r^4 dr = \frac{4}{5} \pi \rho a^5. \label{eq:2.19.4} \]

Con\( m = \frac{4}{3} \pi a^3 \rho \), esto se convierte

\[ {\bf \iota } = \frac{3}{5} ma^2. \label{eq:2.19.5} \]

En efecto, para cualquier distribución esféricamente simétrica de la materia\( A = B = C \), ya que, quedará claro a partir de la Ecuación\( \ref{eq:2.19.2}\), que el momento de inercia con respecto al centro es 3/2 veces el momento de inercia con respecto a un eje a través del centro. Por ejemplo, es obvio a partir de la definición de momento de inercia con respecto al centro que para una concha esférica hueca es justo\(Ma^2 \), y por lo tanto el momento de inercia con respecto a un eje a través del centro lo es\( \frac{2}{3} ma^2 \). Es decir, se puede calcular que el momento de inercia de una concha esférica hueca con respecto a un eje a través de su centro está\( \frac{2}{3} ma^2 \) en su cabeza sin ninguna de las integraciones que hicimos en la Sección 2.7!

A modo de ilustración, considere tres esferas, cada una de radio\(a\) y masa\(M \), pero la densidad entre el centro y la superficie varía como

\( \rho = \rho_0 (1 - \frac{kr}{a}), \quad \rho = \rho_0 (1 - \frac{kr^2}{a^2}), \quad \rho = \rho_0 \sqrt {1-\frac {kr^2}{a^2}} \)

para las tres esferas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Calcular para cada uno el momento de inercia alrededor de un eje a través del centro de la esfera. Exprese la respuesta en el formulario\( \frac{2}{5} Ma^2 × f (k)\).

Solución

La masa de una esfera es

\[ M = 4 \pi \int_{0}^{a} \rho (r)r^2 dr \nonumber \]

y así

\[ \frac{2}{5} Ma^2 = \frac{8 \pi a ^2 }{5} \int_{0}^{a} \rho (r)r^2 dr \nonumber \]

El momento de inercia sobre el centro es

\[ {\bf \iota } = 4 \pi \int_{0}^{a} \rho (r)r^4 dr. \nonumber \]

y así el momento de inercia alrededor de un eje a través del centro es

\[ {I } =\frac{8}{3} \int_{0}^{a} \rho (r)r^4 dr. \nonumber \]

Por lo tanto

\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {5 \int_o^a \rho (r)r^4 dr}{3a^2 \int_o^a \rho (r)r^2 dr} \nonumber \]

Para las dos primeras esferas las integraciones son sencillas. Yo lo hago

\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {12-10k}{12-9k} \nonumber \]

para la primera esfera, y

\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {35-25k}{35-21k} \nonumber \]

para la segunda esfera. Las integraciones para la tercera esfera necesitan un poco más de paciencia, pero yo hago la respuesta

\[ \frac{I}{\frac{2}{5} Ma^2} = \frac {5(12 \alpha - 3 \sin 2 \alpha - 3 \sin 4 \alpha + \sin 6 \alpha )}{18\sin^2 \alpha(4 \alpha - \sin 4 \alpha)} \nonumber \]

donde\(\sin \alpha = \sqrt k \).

El ejemplo\(\PageIndex{1}\) debería ser suficiente para convencer de que el concepto de\( {\bf \iota } \) es útil —pero no es su único uso. Lo volveremos a encontrar en el Capítulo 3 sobre la dinámica de los sistemas de partículas; en particular, jugará un papel en lo que nos vamos a familiarizar como teorema virial.