4.1: Introducción a la Rotación de Cuerpo Rígido

Ningún cuerpo sólido real es perfectamente rígido. Un cuerpo giratorio no rígido se distorsionará por la fuerza centrífuga ^* o por interacciones con otros cuerpos. Sin embargo, la mayoría de la gente permitirá que en la práctica algunos sólidos sean bastante rígidos, estén rotando a una velocidad modesta, y cualquier distorsión sea pequeña en comparación con el tamaño general del cuerpo. No se necesitan ni se ofrecen excusas para analizar, para comenzar con la rotación de un cuerpo rígido.

*En este capítulo no profundizo en si realmente existe “tal cosa” como “fuerza centrífuga”. Algunos tratarían de persuadirnos de que no existe tal cosa. Pero, ¿existe “tal cosa” como una “fuerza gravitacional”? ¿Y uno es más o menos “real” que el otro? Estas son preguntas profundas que mejor se dejan a los filósofos. En la física utilizamos el concepto de “fuerza” —o de hecho cualquier otro concepto— según si nos permite proporcionar una descripción de cómo se comportan los cuerpos físicos. Muchos de nosotros, creo, seríamos desafiados si nos enfrentáramos a una pregunta de examen: “Explique, sin usar el término fuerza centrífuga, por qué la Tierra se abomba en su ecuador”.

Ya hemos discutido algunos aspectos de la rotación de cuerpos sólidos en el Capítulo 2 sobre Momento de Inercia, y de hecho el presente Capítulo 4 no debe sumergirse en sin una buena comprensión de lo que se entiende por “momento de inercia”. Una de las cosas que encontramos fue que, si bien la relación cómoda que\( L=I\omega\) conocemos desde la física elemental es adecuada para problemas en dos dimensiones, en tres dimensiones se convierte la relación\( \bf{L=l \boldsymbol\omega}\), donde\( \bf{l}\) está la inercia tensor, cuyas propiedades fueron discutidas con cierta extensión en el Capítulo 2. También aprendimos en el Capítulo 2 sobre los conceptos de momentos principales de inercia, e introdujimos la noción de que, a menos que un cuerpo esté rotando alrededor de uno de sus ejes principales, la ecuación\( \bf{L=I\boldsymbol\omega}\) implica que los vectores de momento angular y velocidad angular no están en el mismo dirección. Esto lo discutiremos con más detalle en este capítulo.

Un tratamiento completo de la rotación de un top asimétrico (cuyos tres momentos principales de inercia son desiguales y que tiene como elipsoide momental un elipsoide triaxial) es muy largo, ya que hay tantos casos a considerar. Voy a restringir la consideración del movimiento de una parte superior asimétrica a un argumento cualitativo que demuestre que la rotación alrededor del eje principal del mayor momento de inercia o alrededor del eje del menor momento de inercia es estable, mientras que la rotación alrededor del eje intermedio es inestable.

Trataré con más detalle la rotación libre de una parte superior simétrica (que tiene dos momentos principales iguales de inercia) y veremos cómo es que el vector de velocidad angular precede mientras que el vector de momento angular (en ausencia de pares externos) permanece fijo en magnitud y dirección.

También voy a discutir la situación en la que un tope simétrico se somete a un par externo (en cuyo caso ciertamente no\( \bf{L}\) es fijo), como el movimiento de un top. Una situación similar, en la que la Tierra está sujeta a pares externos del Sol y la Luna, hace que el eje de la Tierra preceda con un periodo de 26,000 años, y esto se tratará en un capítulo de las notas sobre Mecánica Celestial.

Antes de discutir estos problemas particulares, hay algunos temas preparatorios, a saber, velocidad angular y ángulos eulerianos, energía cinética, ecuaciones de movimiento de Lagrange y ecuaciones de movimiento de Euler.