12.3: Analógica eléctrica
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Supongamos que\( E=\hat{E}\sin\omega t\) se aplica una diferencia de potencial alterno a través de un circuito LCR. Nos referimos a la Ecuación 11.6.3, y vemos que la ecuación que gobierna la carga en el condensador es
\[ L\ddot{Q}+R\dot{Q}+\frac{Q}{C}=\hat{E}\sin\omega t. \label{12.3.1} \]
Podemos diferenciar ambas partes con respecto al tiempo, y dividirlas por\( L\), y de ahí ver que la corriente viene dada por
\[ \ddot{I}+\frac{R}{L}\dot{I}+\frac{1}{LC}I=\frac{\hat{E}\omega}{L}\cos\omega t. \label{12.3.2} \]
Podemos comparar esto directamente con la Ecuación 12.2.2, para que tengamos
\[ \gamma = \frac{R}{L},\quad \omega_{0}^{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \hat{f}=\frac{\hat{E}\omega}{L}. \label{12.3.3} \]
Entonces, en comparación con la Ecuación 12.2.5, vemos que voy a quedar atrás\( E\) por\( \alpha\), donde
\[ \tan\alpha =\frac{\frac{R\omega}{L}}{\frac{1}{LC}-\omega^{2}}=\frac{R}{\frac{1}{C\omega}-L\omega}. \label{12.3.4} \]
Esto es justo lo que obtenemos del enfoque numérico complejo más familiar para los circuitos de corriente alterna.