15.16: Adición de Velocidades
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Un tren ferroviario se desplaza hacia el este a velocidadν1, y un pasajero camina hacia el frente a velocidadν2. ¿Cuál es la velocidad del pasajero en relación con la estación de tren? Al principio podríamos tener la tentación de responder: “Por qué,ν1+ν2 claro”. En esta sección mostraremos que la respuesta como se predijo a partir de las transformaciones de Lorentz es un poco menor que ésta, y desarrollaremos una fórmula para calcularla. Ya hemos discutido (en la Sección 15.6) nuestra respuesta a la objeción de que esto desafía el sentido común. Señalamos ahí que la respuesta (a la objeción perfectamente razonable) de que “a las velocidades a las que estamos acostumbrados difícilmente notaríamos la diferencia” no es una respuesta satisfactoria. La razón por la que la velocidad resultante es un poco menor que elν1+ν2 resultado de la forma en que hemos definido las transformaciones de Lorentz entre fotogramas de referencia y la forma en que se definen distancias e intervalos de tiempo con referencia a los fotogramas de referencia en movimiento relativo uniforme
La Figura XV.17 muestra dos fotogramas de referenciaΣ′,Σ y, este último moviéndose a velocidadν con respecto al primero. Una partícula se mueve con velocidadu′ adentroΣ′, con componentesu′x′ yu′y′. (“inΣ′” = “referido al marco de referenciaΣ′”.)
¿Cuál es la velocidad de la partícula enΣ?
Empecemos con elx componente -.
Contamos con:
u=dxdt=(∂x∂x′)t′dx′+(∂x∂t′)x′dt′(∂t∂x′)t′dx′+(∂t∂t′)x′dt′=(∂x∂x′)t′u′+(∂x∂t′)x′(∂t∂x′)t′u′+(∂t∂t′)x′
Tomamos las derivadas de las Ecuaciones 15.15.3a, b, c, d y, escribiendoνc paraβ, obtenemos
La inversa se obtiene intercambiando los símbolos cebados y no cebados e invirtiendo el signo deν.
Ely -componente se encuentra de una manera exactamente similar, y dejo su derivación al lector. El resultado es
Casos especiales:
- Siu′x′=u′ yu′y′=0, entonces
ux=u′+ν1+u′νc2
uy=0 - Siu′x′=0 yu′y′=u′ entonces
ux=ν
uy=u′γ
Ecuación15.16.4a tal como está escrita no es fácil de comprometer con la memoria, aunque es bastante más fácil si escribimosβ1=νc, β2=u′c yβ=uxc. Entonces la ecuación se convierte
β=β1+β21+β1β2
En la Figura XV.18, un trenΣ′ está rodando con velocidadβ1 (multiplicado por la velocidad de la luz) hacia la derecha, y un pasajero está paseando hacia el frente a velocidadβ2. La velocidadβ del pasajero con relación a la estaciónΣ viene dada entonces por Ecuación???. En la Figura XV.19, dos trenes, uno moviéndose a velocidadβ1 y el otro moviéndose a velocidadβ2, se mueven uno hacia el otro. (Si prefieres pensar en protones antes que en trenes, eso está bien). Nuevamente, la velocidad relativa b de un tren con respecto al otro viene dada por la Ecuación???.
Un tren se desplaza hacia la derecha al 90% de la velocidad de la luz relativa aΣ, y un pasajero camina hacia la derecha al 15% de la velocidad de la luz relativa aΣ′. La velocidad del pasajero relativa aΣ es 92.5% de la velocidad de la luz.
La relación entreβ1,β2 yβ se muestra gráficamente en la Figura XV.20.
Si utilizo la notaciónβ1β2 para significar “combinarβ1 conβ2”, puedo escribir Ecuación??? como
β1⊕β2=β1+β21+β1β2
Puede notar la similitud de la ecuación???β=β1+β21+β1β1 con la identidad de la función hiperbólica
tanh(ϕ1+ϕ2)=tanhϕ1+tanhϕ21+tanhϕ1tanhϕ2
Así puedo representar la velocidad de un objeto dando el valor deϕ, donde
β=tanhϕ
o
ϕ=tanh−1β=12ln(1+β1−β)
El factorϕ combina simplemente como
ϕ2ϕ2=ϕ1+ϕ2
Si hiciste lo que te sugerí en la Sección 15.3 y programaste tu calculadora o computadora para convertir instantáneamente de un factor de relatividad a otro, ahora tienes una forma rápida de agregar velocidades.
Un tren se desplaza hacia la derecha al 90% de la velocidad de la luz (ϕ1= 1.47222) con relación a S, y un pasajero pasea hacia la derecha al 15% de la velocidad de la luz (ϕ2= 0.15114) con relación aΣ′. La velocidad del pasajero relativa aΣ esϕ = 1.62336, o 92.5% de la velocidad de la luz.
(Lo siento — no hay Figura XV.21.)
Un transatlánticoΣ′ navega serenamente hacia el este a una velocidadβ1 = 0.9c (g1= 2.29416) relativa al océanoΣ. Un pasajero ambala a lo largo de buques a una velocidadβ2 = 0.5c relativa a la nave. ¿Cuál es la velocidad del pasajero en relación con el océano?
El componente norte de su velocidad viene dado por la Ecuación15.16.5b, y es 0.21794c. Su componente oriental es apenas 0.9c. Su velocidad relativa al océano es por lo tanto de 0.92601c en una dirección 13 o 37' al norte del este.
Demostrar que, si la velocidad del transatlántico esβ1 y la velocidad del buque athwartships del pasajero esβ2, la velocidad resultanteβ del pasajero en relación con el océano viene dada por
β2=β21+β22−β21β22
y que su velocidad hace y ánguloα con la velocidad de la nave dada por
tanα=β2√1−β21β1.
Un tren ferroviarioΣ′ de longitud adecuadaL0 = 100 yardas truena más allá de una estación de ferrocarrilΣ a tal velocidad que el jefe de estación piensa que su longitud es de solo 40 yardas. (Corrección: No se trata de lo que “piensa”. Lo que debería haber dicho es que la longitud del tren, referida a un marco de referenciaΣ en el que el jefe de estación está en reposo, es de 40 yardas.) Un perro salchicha se tambalea por el pasillo hacia la parte delantera del tren. (Un perro salchicha, o sabueso tejón, es un perro cilíndrico cuya longitud adecuada es normalmente varias veces su diámetro). La longitud adecuadal0 del perro salchicha es de 24 pulgadas, pero para un pasajero sentado, parece ser... no, perdón, quiero decir que su longitud, referida al marco de referenciaΣ′, es de 15 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del perro salchicha referido al marco de referenciaΣ en el que el jefe de estación está en reposo?
Se nos dice, en efecto, que la velocidad del tren con relación a la estación viene dada porγ1 = 2.5, y que la velocidad del perro salchicha en relación con el tren viene dada porγ2 = 1.6. Entonces, ¿cómo se combinan estos dos gammas para hacer que el factorγ para el perro salchicha sea relativo a la estación?
Hay varias formas en las que podrías hacer este problema. Una es desarrollar un método algebraico general de combinación de dos factores gamma. Por lo tanto:
Demostrar que dos factores gamma se combinan de acuerdo con
γ1⊕γ2=γ1γ2+√(γ21−1)(γ22−1).
Te dejaré para que lo pruebes. La otra forma es aprovechar el programa que escribiste al leer la Sección 15.3, mediante el cual puedes convertir instantáneamente un factor de relatividad en otro. Así conviertes instantáneamente los gammas a phis.
Por lo tantoγ1=2.5 ⇒ ϕ1=1.56680
yγ1=1.6 ⇒ ϕ1=1.04697
∴ϕ=2.61377 ⇒ γ=6.86182
¿Esto es lo que??? obtiene Ecuación?
Por lo tanto, referido a la estación de ferrocarril, la longitud del perro salchicha es24γ = 3.5 pulgadas.