15.16: Adición de Velocidades
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La Figura XV.17 muestra dos fotogramas de referencia\( \Sigma'\),\( \Sigma\) y, este último moviéndose a velocidad\( \nu\) con respecto al primero. Una partícula se mueve con velocidad\( \bf{u'}\) adentro\( \Sigma'\), con componentes\( u'_{x'}\) y\( u'_{y'}\). (“in\( \Sigma'\)” = “referido al marco de referencia\( \Sigma'\)”.)
¿Cuál es la velocidad de la partícula en\( \Sigma\)?
Empecemos con el\( x\) componente -.
Contamos con:
Tomamos las derivadas de las Ecuaciones 15.15.3a, b, c, d y, escribiendo\( \dfrac{\nu}{c}\) para\( \beta\), obtenemos
\[ u_{x}=\dfrac{u'_{x}+\nu}{1+u'_{x'}\dfrac{\nu}{c^{2}}}. \label{15.16.2} \]
La inversa se obtiene intercambiando los símbolos cebados y no cebados e invirtiendo el signo de\( \nu\).
El\( y\) -componente se encuentra de una manera exactamente similar, y dejo su derivación al lector. El resultado es
\[ u_{y}=\dfrac{u'+\nu}{1+u'\dfrac{\nu}{c^{2}}} \label{15.16.3} \]
Casos especiales:
- Si\( u'_{x'}=u'\) y\( u'_{y'}=0\), entonces
\[ u_{x}=\dfrac{u'+\nu}{1+u'\dfrac{\nu}{c^{2}}} \label{15.16.4a}\tag{15.16.4a} \]
\[ u_{y}=0 \label{15.16.4b}\tag{15.16.4b} \] - Si\( u'_{x'}=0\) y\( u'_{y'}=u'\) entonces
\[ u_{x}=\nu \label{15.16.5a}\tag{15.16.5a} \]
\[ u_{y}=\dfrac{u'}{\gamma} \label{15.16.5b}\tag{15.16.5b} \]
Ecuación\( \ref{15.16.4a}\) tal como está escrita no es fácil de comprometer con la memoria, aunque es bastante más fácil si escribimos\( \beta_{1}=\dfrac{\nu}{c},\ \beta_{2}=\dfrac{u'}{c}\) y\( \beta=\dfrac{u_{x}}{c}\). Entonces la ecuación se convierte
\[ \beta=\dfrac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}} \label{15.16.6} \]
En la Figura XV.18, un tren\( \Sigma'\) está rodando con velocidad\( \beta_{1}\) (multiplicado por la velocidad de la luz) hacia la derecha, y un pasajero está paseando hacia el frente a velocidad\( \beta_{2}\). La velocidad\( \beta\) del pasajero con relación a la estación\( \Sigma\) viene dada entonces por Ecuación\( \ref{15.16.6}\). En la Figura XV.19, dos trenes, uno moviéndose a velocidad\( \beta_{1}\) y el otro moviéndose a velocidad\( \beta_{2}\), se mueven uno hacia el otro. (Si prefieres pensar en protones antes que en trenes, eso está bien). Nuevamente, la velocidad relativa b de un tren con respecto al otro viene dada por la Ecuación\( \ref{15.16.6}\).
Un tren se desplaza hacia la derecha al 90% de la velocidad de la luz relativa a\( \Sigma\), y un pasajero camina hacia la derecha al 15% de la velocidad de la luz relativa a\( \Sigma '\). La velocidad del pasajero relativa a\( \Sigma\) es 92.5% de la velocidad de la luz.
La relación entre\( \beta_{1}\),\( \beta_{2}\) y\( \beta\) se muestra gráficamente en la Figura XV.20.
Si utilizo la notación\( \dfrac{\beta_{1}}{\beta_{2}}\) para significar “combinar\( \beta_{1}\) con\( \beta_{2}\)”, puedo escribir Ecuación\( \ref{15.16.6}\) como
\[ \beta_{1}\oplus\beta_{2}=\dfrac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}} \label{15.16.7} \]
Puede notar la similitud de la ecuación\( \ref{15.16.6}\)\( \beta=\dfrac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{1}}\) con la identidad de la función hiperbólica
\[ \tanh(\phi_{1}+\phi_{2})=\dfrac{\tanh\phi_{1}+\tanh\phi_{2}}{1+\tanh\phi_{1}\tanh\phi_{2}} \label{15.16.8} \]
Así puedo representar la velocidad de un objeto dando el valor de\( \phi\), donde
\[ \beta = \tanh\phi \label{15.16.9} \]
o
\[ \phi=\tanh^{-1}\beta=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+\beta}{1-\beta}\right) \label{15.16.10} \]
El factor\( \phi\) combina simplemente como
\[ \dfrac{\phi_{2}}{\phi_{2}}=\phi_{1}+\phi_{2} \label{15.16.11} \]
Si hiciste lo que te sugerí en la Sección 15.3 y programaste tu calculadora o computadora para convertir instantáneamente de un factor de relatividad a otro, ahora tienes una forma rápida de agregar velocidades.
Un tren se desplaza hacia la derecha al 90% de la velocidad de la luz (\( \phi_{1}\)= 1.47222) con relación a S, y un pasajero pasea hacia la derecha al 15% de la velocidad de la luz (\( \phi_{2}\)= 0.15114) con relación a\( \Sigma'\). La velocidad del pasajero relativa a\( \Sigma\) es\( \phi\) = 1.62336, o 92.5% de la velocidad de la luz.
(Lo siento — no hay Figura XV.21.)
Un transatlántico\( \Sigma'\) navega serenamente hacia el este a una velocidad\( \beta_{1}\) = 0.9\( c\) (\( g_{1}\)= 2.29416) relativa al océano\( \Sigma\). Un pasajero ambala a lo largo de buques a una velocidad\( \beta_{2}\) = 0.5\( c\) relativa a la nave. ¿Cuál es la velocidad del pasajero en relación con el océano?
El componente norte de su velocidad viene dado por la Ecuación\( \ref{15.16.5b}\), y es 0.21794\( c\). Su componente oriental es apenas 0.9\( c\). Su velocidad relativa al océano es por lo tanto de 0.92601\( c\) en una dirección 13 o 37' al norte del este.
Demostrar que, si la velocidad del transatlántico es\( \beta_{1}\) y la velocidad del buque athwartships del pasajero es\( \beta_{2}\), la velocidad resultante\( \beta\) del pasajero en relación con el océano viene dada por
\[ \beta^{2}=\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}-\beta_{1}^{2}\beta_{2}^{2} \label{15.16.12} \]
y que su velocidad hace y ángulo\( \alpha\) con la velocidad de la nave dada por
\[ \tan\alpha=\beta_{2}\sqrt{1-\dfrac{\beta_{1}^{2}}{\beta_{1}}}. \label{15.16.13} \]
Un tren ferroviario\( \Sigma'\) de longitud adecuada\( L_{0}\) = 100 yardas truena más allá de una estación de ferrocarril\( \Sigma\) a tal velocidad que el jefe de estación piensa que su longitud es de solo 40 yardas. (Corrección: No se trata de lo que “piensa”. Lo que debería haber dicho es que la longitud del tren, referida a un marco de referencia\( \Sigma\) en el que el jefe de estación está en reposo, es de 40 yardas.) Un perro salchicha se tambalea por el pasillo hacia la parte delantera del tren. (Un perro salchicha, o sabueso tejón, es un perro cilíndrico cuya longitud adecuada es normalmente varias veces su diámetro). La longitud adecuada\( l_{0}\) del perro salchicha es de 24 pulgadas, pero para un pasajero sentado, parece ser... no, perdón, quiero decir que su longitud, referida al marco de referencia\( \Sigma'\), es de 15 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del perro salchicha referido al marco de referencia\( \Sigma\) en el que el jefe de estación está en reposo?
Se nos dice, en efecto, que la velocidad del tren con relación a la estación viene dada por\( \gamma_{1}\) = 2.5, y que la velocidad del perro salchicha en relación con el tren viene dada por\( \gamma_{2}\) = 1.6. Entonces, ¿cómo se combinan estos dos gammas para hacer que el factor\( \gamma\) para el perro salchicha sea relativo a la estación?
Hay varias formas en las que podrías hacer este problema. Una es desarrollar un método algebraico general de combinación de dos factores gamma. Por lo tanto:
Demostrar que dos factores gamma se combinan de acuerdo con
\[ \gamma_{1}\oplus\gamma_{2}=\gamma_{1}\gamma_{2}+\sqrt{(\gamma_{1}^{2}-1)(\gamma_{2}^{2}-1)}. \label{15.16.14} \]
Te dejaré para que lo pruebes. La otra forma es aprovechar el programa que escribiste al leer la Sección 15.3, mediante el cual puedes convertir instantáneamente un factor de relatividad en otro. Así conviertes instantáneamente los gammas a phis.
Por lo tanto\( \gamma_{1}=2.5\ \Rightarrow\ \phi_{1}=1.56680\)
y\( \gamma_{1}=1.6\ \Rightarrow\ \phi_{1}=1.04697\)
\( \therefore \qquad \qquad \qquad \phi=2.61377\ \Rightarrow\ \gamma=6.86182\)
¿Esto es lo que\( \ref{15.16.14}\) obtiene Ecuación?
Por lo tanto, referido a la estación de ferrocarril, la longitud del perro salchicha es\( \dfrac{24}{\gamma}\) = 3.5 pulgadas.