18.4: Área de un Catenoide

Un teorema de la rama de las matemáticas conocido como el cálculo de las variaciones es el siguiente. Dejar\(y = y(x) \) con\(y' = dy/dx \) y dejar que\( f(y,y',x) \) sea alguna función de\(y, y' \) y\(x\). Considera la línea integral\(f\) de la A a la B a lo largo de la ruta\(y = y(x)\).

\[ \int_{A}^{B} f(y,y',x) dx \label{18.4.1} \]

En general, y a menos que\(f\) sea una función de\(x\) y\(y\) solo, y no de\(y'\), el valor de esta integral dependerá de la ruta (es decir\(y = y(x)\)) sobre la que se calcule esta integral de línea. El teorema afirma que la integral es un extremo para una ruta que satisface

\[ \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'} = \frac{\partial f}{\partial y} \label{18.4.2} \]

Por “extremum” nos referimos a un mínimo o un máximo, o una inflexión, aunque en muchos —quizás la mayoría— de los casos de interés físico, es un mínimo. Puede ser difícil para un recién llegado a este teorema tratar de captar exactamente lo que significa este teorema, así que quizás la mejor manera de transmitir su significado es comenzar dando un ejemplo sencillo. A continuación, doy un ejemplo que involucra a la catenaria. Habrá otro ejemplo, involucrando un famoso problema en la dinámica, en el Capítulo 19, y de hecho ya nos hemos encontrado con una aplicación del mismo en el Capítulo 14 en la discusión del principio variacional de Hamilton.

Consideremos, por ejemplo, el problema de calcular la distancia, medida a lo largo de alguna ruta\( y(x) \) entre dos puntos; es decir, queremos calcular la longitud del arco\( \int ds \) A partir de la relación pitagórica habitual entre\(ds\),\(dx\) y\(dy\), esto es\( \int (1 + y') ^{1/2}dx \). El principio variacional dice que esta distancia —medida a lo largo\(y(x)\) — es menor para una ruta\(y(x)\) que satisface la Ecuación 18.4.2, en la que en este caso\( f = (1 + y')^{1/2} \)

Para este caso, tenemos\( \frac{df}{dy}= 0 \) y\( \frac{df}{dy}= \frac{y'}{(1+ y')^{1/2}} \). Así, la integración de la Ecuación\ ref {18.4.2} da

\[ y' = c(1+y'^2)^{1/2} , \label{18.4.3} \]

donde\(c\) está la constante de integración. Si resolvemos esto para\(y'\), obtenemos que es sólo otra constante, que voy a escribir como\(a\), así que\(y' = a\). Integra esto para encontrar

\[ y = ax + b \label{18.4.4} \]

Esto probablemente parece un largo camino para demostrar que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta —pero ese no era el punto del ejercicio. El objetivo era simplemente entender el significado del principio variacional.

Probemos otro ejemplo, en el que la respuesta no será tan obvia.

Consideremos alguna curva\(y = y(x)\), y hagamos girar la curva a través de un ángulo\(\phi \) (que no necesariamente tiene que ser un radianes completo (\ 2\ pi\)) alrededor del\(y\) eje. Un elemento\(ds\) de la curva se puede escribir como\( \sqrt{1 + y'^2 dx} \) y la distancia movida por el elemento\(ds\) (que está a una\(x\) distancia del\(y\) eje -) durante la rotación es\(\phi x\). Así, el área barrida por la curva es

\[ A = \phi \int x \sqrt{1+y'^2}dx. \label{18.4.5} \]

Para qué forma de curva,\(y = y(x)\), ¿es esta área menos? La respuesta es — una curva que satisface Ecuación\(\ref{18.4.2} \), donde\( f = x \sqrt{1 = y'^2}\). Para esta función, tenemos\( \frac{\partial f}{\partial y } = 0 \) y\( \frac{\partial f}{\partial y } = \frac{xy'}{\sqrt{1+y'^2}}\).

Por lo tanto, la curva requerida satisface

\[ \frac{xy'}{\sqrt{1+ y'^2}}= a. \label{18.4.6} \]

Es decir,

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}}. \label{18.4.7} \]

Al sustituir\( x = a \cosh \theta \) y buscar todo lo que hemos olvidado de las funciones hiperbólicas, e integrando, obtenemos

\[ y = a \cosh (x/a). \label{18.4.8} \]

Así, la curva requerida es una catenaria.

Si se forma una burbuja de jabón entre dos anillos horizontales idénticos, uno debajo del otro, tomará la forma de menor área, es decir, un catenoide.