18.4: Área de un Catenoide
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Un teorema de la rama de las matemáticas conocido como el cálculo de las variaciones es el siguiente. Dejary=y(x) cony′=dy/dx y dejar quef(y,y′,x) sea alguna función dey,y′ yx. Considera la línea integralf de la A a la B a lo largo de la rutay=y(x).
∫BAf(y,y′,x)dx
En general, y a menos quef sea una función dex yy solo, y no dey′, el valor de esta integral dependerá de la ruta (es deciry=y(x)) sobre la que se calcule esta integral de línea. El teorema afirma que la integral es un extremo para una ruta que satisface
ddx∂f∂y′=∂f∂y
Por “extremum” nos referimos a un mínimo o un máximo, o una inflexión, aunque en muchos —quizás la mayoría— de los casos de interés físico, es un mínimo. Puede ser difícil para un recién llegado a este teorema tratar de captar exactamente lo que significa este teorema, así que quizás la mejor manera de transmitir su significado es comenzar dando un ejemplo sencillo. A continuación, doy un ejemplo que involucra a la catenaria. Habrá otro ejemplo, involucrando un famoso problema en la dinámica, en el Capítulo 19, y de hecho ya nos hemos encontrado con una aplicación del mismo en el Capítulo 14 en la discusión del principio variacional de Hamilton.
Consideremos, por ejemplo, el problema de calcular la distancia, medida a lo largo de alguna rutay(x) entre dos puntos; es decir, queremos calcular la longitud del arco∫ds A partir de la relación pitagórica habitual entreds,dx ydy, esto es∫(1+y′)1/2dx. El principio variacional dice que esta distancia —medida a lo largoy(x) — es menor para una rutay(x) que satisface la Ecuación 18.4.2, en la que en este casof=(1+y′)1/2
Para este caso, tenemosdfdy=0 ydfdy=y′(1+y′)1/2. Así, la integración de la Ecuación\ ref {18.4.2} da
y′=c(1+y′2)1/2,
dondec está la constante de integración. Si resolvemos esto paray′, obtenemos que es sólo otra constante, que voy a escribir comoa, así quey′=a. Integra esto para encontrar
y=ax+b
Esto probablemente parece un largo camino para demostrar que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta —pero ese no era el punto del ejercicio. El objetivo era simplemente entender el significado del principio variacional.
Probemos otro ejemplo, en el que la respuesta no será tan obvia.
Consideremos alguna curvay=y(x), y hagamos girar la curva a través de un ánguloϕ (que no necesariamente tiene que ser un radianes completo (\ 2\ pi\)) alrededor dely eje. Un elementods de la curva se puede escribir como√1+y′2dx y la distancia movida por el elementods (que está a unax distancia dely eje -) durante la rotación esϕx. Así, el área barrida por la curva es
A=ϕ∫x√1+y′2dx.
Para qué forma de curva,y=y(x), ¿es esta área menos? La respuesta es — una curva que satisface Ecuación???, dondef=x√1=y′2. Para esta función, tenemos∂f∂y=0 y∂f∂y=xy′√1+y′2.
Por lo tanto, la curva requerida satisface
xy′√1+y′2=a.
Es decir,
dydx=a√x2−a2.
Al sustituirx=acoshθ y buscar todo lo que hemos olvidado de las funciones hiperbólicas, e integrando, obtenemos
y=acosh(x/a).
Así, la curva requerida es una catenaria.
Si se forma una burbuja de jabón entre dos anillos horizontales idénticos, uno debajo del otro, tomará la forma de menor área, es decir, un catenoide.