19.1: Introducción a los Cicloides
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Cuando el círculo ha rodado en ángulo\(2\theta \), el centro del círculo se ha movido hacia la derecha una distancia horizontal\(2a \theta \), mientras que la distancia horizontal del punto P desde el centro del círculo es\( a \sin 2 \theta \) y la distancia vertical del punto\(P\) debajo del centro del círculo es\( a \cos 2 \theta \). Así las coordenadas del punto\(P\) son
\[ x = a(2 \theta + \sin 2 \theta) \label{19.1.1} \tag{19.1.1} \]
y
\[ y = a (1 - \cos 2 \theta ). \label{19.1.2}\tag{19.1.2} \]
Ecuaciones\(\ref{19.1.1}\) y\(\ref{19.1.2}\) son las ecuaciones paramétricas del cicloide. Usando una identidad trigonométrica simple, la ecuación también se\(\ref{19.1.2}\) puede escribir
\[ y = 2a \sin^2 \theta . \label{19.1.3}\tag{19.1.3} \]
Cuando la\(x\) coordenada -de P es 2.500\(a\), ¿qué (a cuatro cifras significativas) es su\(y\) -coordenada?
Solución
Tenemos que encontrar\(2 \theta \) por solución de\( 2 \theta +\sin 2 \theta \). Por iteración de Newton-Raphson o de otra manera, encontramos\(2 \theta \) = 0.931 599 201 radianes, y por lo tanto y = 0.9316\(a\).