19.3: La Ecuación Intrínseca al Cicloide
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Un elemento\(ds\) de longitud de arco, en términos de\(dx\) y\(dy\), viene dado por el teorema de Pitágoras:\( ds = ((dx)^2 + (dy)^2))^{1/2} \) o, ya que\(x\) y\(y\) están dadas por las ecuaciones paramétricas 19.1.1 y 19.1.2, por Y por supuesto que acabamos de demostrar que la coordenada intrínseca\( \psi \) (es decir, la ángulo que la tangente al cicloide hace con la horizontal) es igual a\( \theta \).
Integrar\(ds\) (con condición inicial\(s\) = 0,\( \theta \) = 0) para mostrar que la ecuación intrínseca al cicloide es
\[ s = 4 a \sin \psi \label{19.3.1}\tag{19.3.1} \]
Además, elimine\( \psi \) (o\( \theta \)) de las Ecuaciones\( \ref{19.3.1}\) y 19.1.2 para mostrar que la siguiente relación se mantiene entre la longitud del arco y la altura en el cicloide:
\[ s^2 = 4 ay. \label{19.3.2}\tag{19.3.2} \]