1.3: Dinámica- Leyes Newton

Generalmente, la dinámica clásica es completamente descrita (además de las relaciones cinemáticas discutidas anteriormente) por tres leyes de Newton. En contraste con la impresión que intentan crear algunos libros de texto sobre física teórica, estas leyes son de naturaleza experimental, y no pueden derivarse de argumentos puramente teóricos.

Confío en que el lector de estas notas ya está familiarizado con las leyes de Newton,\({ }^{7}\) en una u otra formulación. Permítanme señalar sólo que en algunas formulaciones, la ley\(1^{\text {st }}\) Newton se ve justamente como un caso particular de la\(2^{\text {nd }}\) ley -cuando la fuerza neta que actúa sobre una partícula equivale a cero. Para evitar esta duplicación, la\(1^{\text {st }}\) ley podrá formularse como el siguiente postulado:

Existe al menos un marco de referencia, llamado inercial, en el que cualquier partícula libre (es decir, una partícula completamente aislada del resto del Universo) se mueve con\(\mathbf{v}=\) const, es decir con\(\mathbf{a}=0\).

Obsérvese que de acuerdo con la Ec. (7), este postulado inmediatamente significa que también hay un número infinito de marcos inerciales porque todos los cuadros 0' que se mueven sin rotación o aceleración con relación al marco inercial postulado 0 (es decir, tener\(\mathbf{a}_{0} \mid\) en 0,\(=0\)) también son inerciales.

Por otro lado, las leyes\(2^{\text {nd }}\) y\(3^{\text {rd }}\) Newton pueden postularse juntas de la siguiente manera elegante. Cada partícula, digamos número\(k\), puede caracterizarse por una constante escalar (llamada masa\(m_{k}\)), tal que en cualquier interacción de\(N\) partículas (aisladas del resto del Universo), en cualquier sistema inercial,\[\mathbf{P} \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \equiv \sum_{k=1}^{N} m_{k} \mathbf{v}_{k}=\text { const. }\] (Cada componente de esta suma,\[\mathbf{p}_{k} \equiv m_{k} \mathbf{v}_{k},\] es llamado el impulso mecánico\(^{8}\) de la partícula correspondiente, mientras que la suma\(\mathbf{P}\), el impulso total del sistema.)

Apliquemos este postulado a sólo dos partículas que interactúan. Diferenciando la Ec. (8), escrita para este caso, con el tiempo, obtenemos\[\dot{\mathbf{p}}_{1}=-\dot{\mathbf{p}}_{2} \text {. }\] Demos a la derivada\(\dot{\mathbf{p}}_{1}\) (que es un vector) el nombre de la fuerza\(\mathbf{F}\) ejercida sobre la partícula 1. En nuestro caso actual, cuando la única fuente posible de la fuerza es la partícula 2, se puede denotar como\(\mathbf{F}_{12}: \dot{\mathbf{p}}_{1} \equiv \mathbf{F}_{12}\). De igual manera\(\mathbf{F}_{21} \equiv \dot{\mathbf{p}}_{2}\), para que la Ec. (10) se convierta en la ley de\(3^{\text {rd }}\) Newton\[\mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21} .\]
Plugging Eq. (1.9) en estas definiciones de fuerza, y diferenciando los productos\(m_{k} \mathbf{v}_{k}\), tomando en cuenta que las masas de partículas son constantes,\({ }^{9}\) obtenemos eso para\(k\) y \(k\)'tomando cualquiera de los valores 1,2,\[m_{k} \dot{\mathbf{v}}_{k} \equiv m_{k} \mathbf{a}_{k}=\mathbf{F}_{k k^{\prime}}, \quad \text { where } k^{\prime} \neq k . .\] Ahora, volviendo al caso general de varias partículas que interactúan, y haciendo una suposición adicional (pero muy natural) de que todas las fuerzas parciales que\(\mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) actúan sobre la partícula se\(k\) suman como vectores, podemos generalizar la Eq. (12) en la ley\(2^{\text {nd }}\) Newton\[m_{k} \mathbf{a}_{k} \equiv \dot{\mathbf{p}}_{k}=\sum_{k^{\prime} \neq k} \mathbf{F}_{k k^{\prime}} \equiv \mathbf{F}_{k},\] que permite una interpretación clara de la masa como medida de la inercia de la partícula.

En principio, si se conoce la dependencia de todas las fuerzas\(\mathbf{F}_{k k^{\prime}}\) de par de las posiciones de las partículas (y generalmente también del tiempo), la ecuación (13), aumentada con las relaciones cinemáticas (2) y (3), permite calcular las leyes de movimiento\(\mathbf{r}_{k}(t)\) de todas las partículas del sistema. Por ejemplo, para una partícula la\(2^{\text {nd }}\) ley (13) da una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden,\[m \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}(\mathbf{r}, t),\] que puede integrarse, ya sea analítica o numéricamente.En ciertos casos, esto es muy simple. Como ejemplo elemental, la fuerza de gravedad de Newton\({ }^{10}\)\[\mathbf{F}=-G \frac{m m^{\prime}}{R^{3}} \mathbf{R}\] (donde\(\mathbf{R} \equiv \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\) es la distancia entre partículas de masas\(m\) y\(\left.m^{\prime}\right)^{11}\), es prácticamente uniforme y puede aproximarse como aproximarse como\[\mathbf{F}=m \mathbf{g}\] con el vector\(\mathbf{g} \equiv\left(G m^{\prime} / r^{\prime 3}\right) \mathbf{r}^{\prime}\) siendo constante, para movimientos locales con\(r<<r^{\prime} \cdot{ }^{12}\) Como resultado,\(m\) en la Ecuación (13) cancela, se reduce a solo\(\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{g}=\) const, y puede integrarse fácilmente dos veces: dando\[\dot{\mathbf{r}}(t) \equiv \mathbf{v}(t)=\int_{0}^{t} \mathbf{g} d t^{\prime}+\mathbf{v}(0)=\mathbf{g} t+\mathbf{v}(0), \quad \mathbf{r}(t)=\int_{0}^{t} \mathbf{v}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\mathbf{r}(0)=\mathbf{g} \frac{t^{2}}{2}+\mathbf{v}(0) t+\mathbf{r}(0),\]  así la solución genérica de todos esos problemas de pregrado sobre el movimiento del proyectil, que debería ser así familiar para el lector.

Todo esto se ve (y de hecho es) muy simple, pero en la mayoría de los demás casos, la Ec. (13) lleva a cálculos más complejos. A modo de ejemplo, pensemos en lo que lo usaríamos para resolver otro problema sencillo: una perla de masa que se\(m\) desliza, sin fricción, a lo largo de un anillo redondo de radio\(R\) en un campo de gravedad obedeciendo a la Ec. (16) - ver Figura 3. (Este sistema es equivalente al péndulo puntual habitual, es decir, una masa puntual suspendida del punto 0 en una varilla o cuerda de luz, y restringida para moverse en un plano vertical).

Figura 1.3. Una perla que se desliza a lo largo de un anillo vertical.

Supongamos que solo nos interesa la velocidad de la cuenta\(v\) en el punto más bajo, después de que se haya caído del resto en la posición más a la derecha. Si queremos resolver este problema utilizando únicamente las leyes de Newton, tenemos que hacer los siguientes pasos:

(i) considerar la perla en una posición intermedia arbitraria sobre un anillo, descrita, por ejemplo, por el ángulo\(\theta\) mostrado en la Figura 3;

(ii) extraer todas las fuerzas que actúan sobre la partícula -en nuestro caso actual, la fuerza de gravedad\(m g\) y la fuerza de reacción\(\mathbf{N}\) ejercida por el anillo- ver Figura 3 anterior

(iii) escribir los componentes cartesianos de la ley\(2^{\text {nd }}\) Newton (14) para la aceleración de cuentas:\(m a_{x}=\)\(N_{x}, m a_{y}=N_{y}-m g\),

(iv) reconocer que en ausencia de fricción, la fuerza\(\mathbf{N}\) debe ser normal al anillo, para que podamos usar dos ecuaciones adicionales,\(N_{x}=-N \sin \theta\) y\(N_{y}=N \cos \theta\);

(v) eliminar variables desconocidas\(N, N_{x}\), y\(N_{y}\) del sistema resultante de cuatro ecuaciones, obteniendo así una única ecuación diferencial de segundo orden para una variable, por ejemplo\(\theta\),\[m R \ddot{\theta}=-m g \sin \theta ;\] (vi) usar la identidad matemática\(\ddot{\theta}=(d \dot{\theta} / d \theta) \dot{\theta}\) para integrar esta ecuación sobre \(\theta\)una vez para obtener una expresión relacionando la velocidad\(\dot{\theta}\) y el ángulo\(\theta\); y, finalmente,

(vii) usando nuestra condición inicial específica\((\dot{\theta}=0\) en\(\theta=\pi / 2)\), encontrar la velocidad final como\(v=R \dot{\theta}\) at\(\theta=0\).

Todo esto es muy factible, pero por favor acuerden que el procedimiento es demasiado engorroso para un problema tan simple. Además, en muchos otros casos incluso escribir ecuaciones de movimiento a lo largo de coordenadas relevantes es muy complejo, y cualquier ayuda que pueda proporcionar la teoría general es muy valiosa. En muchos casos, dicha ayuda viene dada por las leyes de conservación; revisemos las más generales de ellas.

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\({ }^{7}\)Debido al genio de Sir Isaac, estas leyes fueron formuladas en el mismo Principia (1687), muy adelantado a la física de su tiempo.

\({ }^{8}\)El momento lineal de término más extendido se usa típicamente solo en los casos en que existe la posibilidad de su confusión con el momento angular de la misma partícula/sistema - ver abajo. La definición actual del impulso lineal y el término en sí pertenecen a John Wallis (1670), pero el concepto puede remontarse a nociones más vagas de varios científicos anteriores, hasta al menos una obra del año 570 d.C., de Juan Filoponus.

\({ }^{9}\)Tenga en cuenta que esto puede no ser cierto para cuerpos compuestos de masa total variable\(M\) (por ejemplo, cohetes que emiten chorros, ver Problema 11), en estos casos la derivada del impulso puede diferir de\(M \mathbf{a}\).

\({ }^{10}\)Introducido en el mismo famoso Principia!

\({ }^{11}\)El hecho de que las masas que participan en las ecuaciones (14) y (16) sean iguales, el llamado principio de equivalencia débil, en realidad es altamente no trivial, pero ha sido verificado repetidamente experimentalmente con una precisión relativa gradualmente mejorada, alcanzando actualmente\(\sim 10^{-14}\) - ver P. Touboul et al., Phys. Rev. Lett. 119, 231101 (2017).

\({ }^{12}\)Por supuesto, el caso particular más importante de la Ecuación (16) es el movimiento de objetos cercanos a la superficie de la Tierra. En este caso, utilizando el hecho de que la ecuación (15) sigue siendo válida para el campo de gravedad creado por una esfera pesada, obtenemos\(g=\)\(G M_{\mathrm{E}} / R_{\mathrm{E}}{ }^{2}\), dónde\(M_{\mathrm{E}}\) y\(R_{\mathrm{E}}\) son la masa y el radio de la Tierra. Conectando sus valores,\(M_{\mathrm{E}} \approx 5.97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\) y\(R_{\mathrm{E}} \approx\)\(6.37 \times 10^{6} \mathrm{~m}\), obtenemos\(g \approx 9.82 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). El valor experimental de\(g\) varía de\(9.78\) a\(9.83 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) en varios lugares de la superficie de la Tierra (debido a las desviaciones de la forma de la Tierra de una esfera, y el efecto dependiente de la ubicación de la “fuerza inercial” centrífuga - ver Sec. \(4.5\)abajo), con un valor promedio de\(g \approx 9.807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\).