1.2: Cinemática- Nociones Básicas

Las nociones básicas de la cinemática pueden definirse de diversas maneras, y algunos matemáticos prestan mucha atención al análisis de tales sistemas de axiomas, y las relaciones entre ellos. En física, normalmente nos apegamos a formas menos rigurosas (para proceder más rápido a problemas particulares) y terminamos debatiendo cualquier definición tan pronto como “todos en la sala” estén de acuerdo en que todos estamos hablando de lo mismo, al menos en el contexto en que se discuten. Permítanme esperar que las siguientes nociones utilizadas en la mecánica clásica satisfagan este criterio en nuestra “habitación”:

(i) Todas las nociones de geometría euclidiana, incluyendo el punto, la línea recta, el plano, etc.

ii) Marcos de referencia: plataformas de observación y descripción matemática de fenómenos físicos. Un marco de referencia incluye un sistema de coordenadas utilizado para medir la posición del punto (es decir, su vector de radio\(\mathbf{r}\) que conecta el origen de coordenadas con el punto - ver Figura 1) y un reloj que mide el tiempo\(t\). Un sistema de coordenadas puede entenderse como un cierto método de expresar el vector\(\mathbf{r}\) de radio de un punto como un conjunto de sus coordenadas escalares. El más importante de tales sistemas (pero de ninguna manera el único) son las coordenadas cartesianas (ortogonales, lineales)\({ }^{3} r_{j}\) de un punto, en el que su radio vector puede representarse como la siguiente suma:\[\mathbf{r}=\sum_{j=1}^{3} \mathbf{n}_{j} r_{j},\] donde\(\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}\), y\(\mathbf{n}_{3}\) son vectores unitarios dirigidos a lo largo del eje de coordenadas - ver Figura 1. \({ }^{4}\)

Figura 1.1. Coordenadas cartesianas de un punto

iii) El espacio/tiempo absoluto (“newtoniano”),\({ }^{5}\) que no depende de la distribución de la materia. Se supone que el espacio tiene la métrica euclidiana, que puede expresarse como la siguiente relación entre la longitud de cualquier vector\(r\) de radio\(\mathbf{r}\) y sus coordenadas cartesianas:\[r \equiv|\mathbf{r}|=\left(\sum_{j=1}^{3} r_{j}^{2}\right)^{1 / 2}\] mientras que\(t\) se supone que el tiempo corre de manera similar en todos los fotogramas de referencia.

iv) La velocidad (instantánea) del punto,

Velocity

\[\ \mathbf{v}(t) \equiv \frac{d \mathbf{r}}{d t} \equiv \dot{\mathbf{r}},\]

y su aceleración:

Aceleración\[\begin{array}{r} \mathbf{v}(t) \equiv \frac{d \mathbf{r}}{d t} \equiv \dot{\mathbf{r}} \\ \mathbf{a}(t) \equiv \frac{d \mathbf{v}}{d t} \equiv \dot{\mathbf{v}}=\ddot{\mathbf{r}} \end{array}\] (v) Transferencia entre fotogramas de referencia. Las definiciones anteriores de vectores\(\mathbf{r}, \mathbf{v}\), y a dependen del marco de referencia elegido (son “específicos de marco de referencia”), y frecuentemente necesitamos relacionar esos vectores como se observa en diferentes marcos. Dentro de la geometría euclidiana, la relación entre los vectores de radio en dos fotogramas con los ejes correspondientes paralelos en el momento de interés (Figura 2), es muy simple:

Transformación de radio

Figura 1.2. Transferencia entre dos marcos de referencia.

Si los marcos se mueven uno contra el otro solo por traslación (¡sin rotación mutua!) , relaciones similares son válidas para la velocidad y la aceleración también:\[\begin{aligned} &\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in } 0^{\prime}}=\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in } 0}+\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in } 0^{\prime}} \\ &\left.\mathbf{a}\right|_{\text {in } 0^{\prime}}=\left.\mathbf{a}\right|_{\text {in } 0}+\left.\mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in } 0^{\prime}} \end{aligned}\] Obsérvese que en el caso de rotación mutua de los marcos de referencia, las leyes de transferencia para velocidades y aceleraciones son más complejas que las dadas por las ecuaciones (6) y (7). En efecto, en este caso las nociones como no\(\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in } 0^{\prime}}\) están bien definidas: diferentes puntos de un cuerpo rígido imaginario conectado al marco 0 pueden tener diferentes velocidades cuando se observan en el cuadro 0'. Será más natural para mí discutir estas relaciones más generales al final del Capítulo 4, dedicado al movimiento corporal rígido.

vi) Una partícula (o “partícula puntual”): un objeto físico localizado cuyo tamaño es insignificante, y la forma es irrelevante para el problema dado. Tenga en cuenta que la última calificación es sumamente importante. Por ejemplo, el tamaño y la forma de una nave espacial no son demasiado importantes para la discusión de su movimiento orbital sino que son primordiales cuando se están desarrollando sus procedimientos de aterrizaje. Dado que la mecánica clásica descuida las incertidumbres mecánicas cuánticas,\({ }^{6}\) en ella la posición de una partícula, en cualquier instante particular\(t\), puede identificarse con un solo punto geométrico, es decir, con un solo vector de radio\(\mathbf{r}(t)\). El objetivo final formal de la mecánica clásica es encontrar las leyes del movimiento\(\mathbf{r}(t)\) de todas las partículas que participan en el problema dado.

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\({ }^{3}\)En esta serie, las coordenadas cartesianas (introducidas en 1637 por René Descartes, también conocido como Cartesius) se denotan como cualquiera\(\left\{r_{1}, r_{2}, r_{3}\right\}\) o\(\{x, y, z\}\), dependiendo de la conveniencia en cada caso particular. Tenga en cuenta que la numeración de ejes es importante para operaciones como el producto vectorial (“cruz”); el orden de numeración “correcto” (significado generalmente aceptado) es tal que la rotación\(\mathbf{n}_{1} \rightarrow \mathbf{n}_{2} \rightarrow \mathbf{n}_{3} \rightarrow \mathbf{n}_{1} \ldots\) se ve en sentido antihorario si se observa desde un punto con todos\(r_{j}>0\), como el que se muestra en la Figura 1.

\({ }^{4}\)Obsérvese que la representación (1) también es posible para coordenadas localmente ortogonales pero curvilíneas (por ejemplo, cilindricas/polares y esféricas), las cuales serán ampliamente utilizadas en esta serie. Sin embargo, tales coordenadas no son cartesianas, y para ellas algunas de las relaciones que se dan a continuación son inválidas - véase, por ejemplo, MA Sec. 10.

\({ }^{5}\)Estas nociones fueron introducidas formalmente por Sir Isaac Newton en su obra principal, los tres volúmenes Philosophiae Naturalis Principia Mathematica publicados en 1686-1687, pero tienen sus raíces en ideas anteriores de Galileo Galilei, publicadas en\(1632 .\)

\({ }^{6}\)Esta aproximación es legítima cuando el producto de las escalas de coordenada e impulso del movimiento de la partícula es mucho mayor que la constante de Planck\(\hbar \sim 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\). Las condiciones más detalladas de la aplicabilidad de la mecánica clásica dependen de un sistema en particular; véase, por ejemplo, la parte QM de esta serie.