1.5: Energía Potencial y Equilibrio

Otro papel importante de la energía potencial\(U\), especialmente para los sistemas disipativos cuya energía mecánica total no\(E\) se conserva porque puede ser drenada al ambiente, es encontrar las posiciones de equilibrio (a veces llamadas los puntos fijos del sistema bajo análisis) y analizando su estabilidad con respecto a pequeñas perturbaciones. Para una sola partícula, esto es muy simple: la fuerza (22) desaparece en cada extremo (ya sea mínimo o máximo) de la energía potencial. \({ }^{22}\)De esos puntos fijos, sólo los mínimos de\(U(\mathbf{r})\) son estables - ver Sec. \(3.2\)a continuación para una discusión de este punto.

Un caso un poco más sutil es una partícula con energía potencial\(U(\mathbf{r})\), sometida a una fuerza externa adicional\(\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}(\mathbf{r})\). En este caso, el equilibrio estable se alcanza al mínimo de no la función\(U(\mathbf{r})\), sino de lo que a veces se llama la energía potencial de Gibbs

\[U_{\mathrm{G}}(\mathbf{r}) \equiv U(\mathbf{r})-\int^{\mathbf{r}} \mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime},\]\[\text { (1.39) }\]que se define, tal como\(U(\mathbf{r})\) está, a una constante aditiva arbitraria. \({ }^{23}\)La prueba de la Ec. (39) es muy sencilla: en un extremo de esta función, la fuerza total que actúa sobre la partícula, se\[\mathbf{F}^{(\mathrm{tot})}=\mathbf{F}+\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})} \equiv-\nabla U+\nabla \int^{\mathbf{r}} \mathbf{F}^{(\mathrm{ext})}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot d \mathbf{r}^{\prime} \equiv-\nabla U_{\mathrm{G}},\] desvanece, como debería.

Físicamente, la diferencia\(U_{\mathrm{G}}-U\) especificada por la Ec. (39) es la parte\(\mathbf{r}\) -dependiente\(U^{\text {(ext) }}\) de la energía potencial del sistema externo responsable de la fuerza\(\mathbf{F}^{\text {(ext) }}\), por lo que esa\(U_{\mathrm{G}}\) es solo la energía potencial total\(U+U^{(\mathrm{ext})}\), excluyendo su parte que no depende de \(\mathbf{r}\)y por lo tanto es irrelevante para el análisis. Según la ley de\(3^{\text {rd }}\) Newton, la fuerza ejercida por la partícula sobre el sistema externo es igual\(\left(-\mathbf{F}^{\text {(ext) }}\right)\), de manera que su trabajo (y de ahí el cambio de\(U^{(\mathrm{ext})}\) debido al cambio de\(\mathbf{r}\)) viene dado por el segundo término en el lado derecho de la Ec. (39). Así la condición de equilibrio,\(-\nabla U_{\mathrm{G}}=0\), es solo la condición de un extremo de la energía potencial total,\(U+U^{\text {(ext) }}+\) const, de los dos sistemas que interactúan.

Para el caso más simple (y muy frecuente) cuando la fuerza aplicada es independiente de la posición de la partícula, la energía potencial de Gibbs (39) es justa\({ }^{24}\)\[U_{\mathrm{G}}(\mathbf{r}) \equiv U(\mathbf{r})-\mathbf{F}^{(\mathrm{ext})} \cdot \mathbf{r}+\text { const }\] Como ejemplo más simple, considere una\(1 \mathrm{D}\) deformación del resorte elástico habitual proporcionando la fuerza de retorno\((-\kappa x)\), donde\(x\) está la desviación de su equilibrio. Como se desprende de la Ec. (22), su energía potencial es\(U=\kappa x^{2} / 2+\) const, por lo que su mínimo corresponde a\(x=0\). Ahora apliquemos una fuerza externa adicional\(F\), digamos independiente de\(x\). Entonces la deformación de equilibrio del resorte\(x_{0}=F / \kappa\),, corresponde al mínimo de no\(U\), sino de la energía potencial Gibbs (41), en nuestro caso particular tomando la forma\[U_{\mathrm{G}} \equiv U-F x=\frac{\kappa x^{2}}{2}-F x\]

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\({ }^{22}\)Suponiendo que las fuerzas adicionales, no conservadoras (como la viscosidad) responsables del drenaje de energía mecánica, desaparecen en equilibrio, como suelen hacer. (La fricción estática es un contraejemplo).

\({ }^{23}\)Desafortunadamente, en la mayoría de los libros de texto, la asociación de la noción (inevitablemente utilizada) de\(U_{\mathrm{G}}\) con el glorioso nombre de Josiah Willard Gibbs se pospone hasta un curso de mecánica estadística y/o termodinámica, donde\(U_{\mathrm{G}}\) forma parte de la energía libre de Gibbs, en contraste con\(U\), que es parte de la energía libre de Helmholtz - véase, por ejemplo, SM Sec. 1.4. Utilizo esta noción a lo largo de mi serie, porque la diferencia entre\(U_{\mathrm{G}}\) y\(U\), y de ahí que entre las energías libres de Gibbs y Helmholtz, no tiene nada que ver con la estadística o el movimiento térmico, y pertenece a toda la física, incluyendo no solo la mecánica sino también la electrodinámica y la cuántica mecánica.

\({ }^{24}\)Nótese que la Ec. (41) es un caso particular de lo que los matemáticos llaman las transformaciones de Legendre.