1.6: Bien, ¿ya podemos irnos a casa?

Lo siento, todavía no. En muchos casos, las leyes de conservación discutidas anteriormente brindan poca ayuda, incluso en sistemas sin disipación. Consideremos por ejemplo una generalización del problema de la perla sobre el anillo que se muestra en la Figura 3, en la que el anillo es girado por fuerzas externas, con una velocidad angular constante\(\omega\), alrededor de su diámetro vertical. \({ }^{25}\)En este problema (al que volveré repetidamente a continuación, utilizándolo como “banco de pruebas” de mecánica analítica), ninguna de las tres leyes de conservación enumeradas en el último apartado, sostiene. En particular, la energía de la cuenta, no\[E=\frac{m}{2} v^{2}+m g h,\] es constante, ya que las fuerzas externas que giran el anillo pueden cambiarlo. Por supuesto, todavía podemos resolver el problema usando las leyes de Newton, pero esto es aún más complejo que para el caso anterior del anillo en reposo, en particular porque la fuerza\(\mathbf{N}\) ejercida sobre la cuenta por el anillo ahora puede tener tres en lugar de dos componentes cartesianos, que no están simplemente relacionados. Por otro lado, es claro que la cuenta todavía tiene solo un grado de libertad (ángulo\(\theta\)), por lo que su dinámica no debería ser demasiado complicada.

Este hecho da la pista de cómo podrían simplificarse situaciones como esta: si tan solo pudiéramos excluir las llamadas fuerzas de reacción como\(\mathbf{N}\), que toman en cuenta las restricciones externas impuestas al movimiento de las partículas, de antemano, eso debería ayudar mucho. Dicha exclusión de restricción puede ser proporcionada por la mecánica analítica, en particular su formulación lagrangiana, a la que procederemos ahora.

Por supuesto, el valor del enfoque lagrangiano va mucho más allá de sistemas simples como la perla en un anillo giratorio. De hecho, este sistema tiene solo dos restricciones impuestas externamente: la distancia fija de la perla desde el centro del anillo, y el ángulo instantáneo de rotación del anillo alrededor de su diámetro vertical. Ahora consideremos el movimiento de un cuerpo rígido. Se trata esencialmente de un sistema de un número muy grande\(N \gg 1\),, de partículas (\(10^{23}\)de ellas si pensamos en átomos en un cuerpo a escala de 1 cm). Si la única forma de analizar su movimiento sería escribir las leyes de Newton para cada una de las partículas, la situación sería completamente desesperada. Afortunadamente, el número de restricciones impuestas a su movimiento es casi igualmente enorme. (A deformaciones insignificantes del cuerpo, las distancias entre cada par de sus partículas deben ser constantes). En consecuencia, el número de grados reales de libertad de tal cuerpo es pequeño (a deformaciones insignificantes, solo seis - ver Sec. 6.1), de manera que con la amable ayuda de la mecánica analítica, el movimiento del cuerpo puede ser, en muchos casos importantes, analizado incluso sin cálculos numéricos.

Una motivación más importante para la mecánica analítica viene dada por la dinámica de los sistemas “no mecánicos”, por ejemplo, del campo electromagnético, posiblemente interactuando con partículas cargadas, cuerpos conductores, etc. En muchos de estos sistemas, la forma más fácil (y a veces la única practicable) de encontrar las ecuaciones del movimiento es derivarlos de la función lagrangiana o hamiltoniana del sistema. Además, la formulación hamiltoniana de la mecánica analítica (que se discutirá en el Capítulo 10) ofrece una vía directa para derivar operadores hamiltonianos cuántico-mecánicos de diversos sistemas, los cuales son necesarios para el análisis de sus propiedades cuánticas.

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\({ }^{25}\)Esto es esencialmente un modelo simplificado del dispositivo de control mecánico llamado el gobernador centrífugo (o “flyball” o “flyball centrífugo”) - véase, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Centrifugal gobernador. (A veces el dispositivo se llama el “gobernador de Watt”, después del famoso James Watts que lo utilizó en 1788 en una de sus primeras máquinas de vapor, pero se había utilizado en molinos de viento europeos al menos desde principios del siglo XIX.) Apenas como curiosidad: el término ahora ubicuo cibernética fue acuñado por Norbert Wiener en 1948 a partir de la palabra “gobernador” (o más bien de su antiguo griego original кß\ varepsilon\ rhov\ tau) exactamente en este sentido porque había sido el primer dispositivo de control bien estudiado.