1.7: Problemas de autoprueba

1.1. Una bicicleta, montada con velocidad\(v\) sobre un pavimento húmedo, no tiene guardabarros en sus ruedas. ¿Qué tan atrás debería andar el siguiente motociclista para evitar ser salpicado? Descuidar los efectos de resistencia al aire.

1.2. Dos discos redondos de radio\(R\) están firmemente conectados con un cilindro coaxial de un radio más pequeño\(r\), y una rosca se enrolla en el carrete resultante. El carrete se coloca sobre una superficie horizontal, y el extremo del hilo se está agrupando en ángulo\(\varphi\); vea la figura a la derecha. Suponiendo que el carrete no se deslice sobre la superficie, ¿en qué dirección rodaría?

1.3.* Calcular la forma de equilibrio de una cuerda flexible y pesada de longitud\(l\), con una masa constante\(\mu\) por unidad de longitud, si se cuelga en un campo de gravedad uniforme entre dos puntos separados por una distancia horizontal\(d\) - ver la figura a la derecha.

1.4. Una barra uniforme, larga y delgada se coloca horizontalmente sobre dos cilindros redondos similares que giran uno hacia el otro con la misma velocidad angular\(\omega\) y desplazados por distancia\(d-\) ver la figura a la derecha. Calcular las leyes de movimiento horizontal relativamente lento de la barra dentro del plano del dibujo, para ambas direcciones posibles de rotación del cilindro, asumiendo que la fuerza de fricción entre las superficies deslizantes de la barra y cada cilindro obedece a la simple aproximación de Coulomb\({ }^{26}|F|=\mu N\), donde\(N\) es la fuerza de presión normal entre ellos, y\(\mu\) es un coeficiente constante (independiente de la velocidad). Formular la condición de validez de su resultado.

1.5. Un pequeño bloque se desliza, sin fricción, por un deslizamiento suave que termina con un bucle redondo de radio\(R\) - ver la figura a la derecha. ¿Qué altura inicial más pequeña\(h\) permite que el bloque se abra paso alrededor del bucle sin caer de la diapositiva si se lanza con una velocidad inicial insignificante?

1.6. Se\(m\) está lanzando un satélite de masa desde altura\(H\) sobre la superficie de un planeta esférico con radio\(R\) y masa\(M \gg m-\) ver la figura a la derecha. Encuentra el rango de velocidades iniciales\(\mathbf{v}_{0}\) (normales al radio) proporcionando órbitas cerradas por encima de la superficie del planeta.

1.7. Demostrar que el modelo de disco fino uniforme de una galaxia describe pequeñas oscilaciones armónicas de estrellas en su interior a lo largo de la dirección normal al disco, y calcular la frecuencia de estas oscilaciones en términos de la constante gravitacional de Newton\(G\) y la densidad\(\rho\) de la materia del disco.

1.8. Derivar ecuaciones diferenciales de movimiento para pequeñas oscilaciones de dos péndula similares acopladas con un resorte (ver la figura de la derecha), dentro de su plano vertical común. Supongamos que en la posición vertical de ambas péndula, el resorte no se estira\((\Delta L=0)\).

1.9. Uno de los conceptos futuristas populares de viajar es cavar un túnel ferroviario recto a través de la Tierra y dejar que un tren lo atraviese, sin velocidad inicial, impulsado solo por la gravedad. Calcular el tiempo de viaje del tren a través de dicho túnel, asumiendo que la densidad de la Tierra\(\rho\) es constante, y descuidando los efectos de fricción y rotación del planeta.

1.10. Un pequeño cordón de masa\(m\) puede deslizarse, sin fricción, a lo largo de una cuerda ligera, estirada con una fuerza\(\mathscr{T} \gg m g\), entre dos puntos separados por una distancia horizontal\(2 d-\) ver la figura a la derecha. Calcular la frecuencia de oscilaciones horizontales de la perla alrededor de su posición de equilibrio.

1.11. Para un cohete que acelera debido a su motor a reacción en funcionamiento (y por lo tanto gastando el combustible para aviones), calcule la relación entre su velocidad y la masa restante.

Sugerencia: En aras de la simplicidad, considera el movimiento 1D.

1.12. Demostrar el siguiente teorema virial:\({ }^{27}\) para un conjunto de\(N\) partículas que realizan un movimiento periódico,\[\bar{T}=-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \overline{\mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}},\] donde la barra superior significa promediar a lo largo del tiempo, en este caso durante el período de movimiento. ¿Qué dice el teorema del virio sobre:

(i) un movimiento 1D de una partícula en el potencial de confinamiento28\(U(x)=a x^{2 s}\), con\(a>0\) y\(s>0\), y

ii) ¿un movimiento orbital de una partícula en el potencial central\(U(r)=-C / r\)?

Sugerencia: Explore la derivada del tiempo de la siguiente función escalar del tiempo:\(G(t) \equiv \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}\).

---

\({ }^{26}\)Fue sugerido en 1785 por el mismo Charles-Augustin de Coulomb que ha descubierto la famosa ley de Coulomb de la electrostática, y de ahí fue pionero en toda la ciencia cuantitativa de la electricidad - ver EM Ch. \(1 .\)

\({ }^{27}\)Fue declarado por primera vez por Rudolf Clausius en 1870.

\({ }^{28}\)Aquí y abajo estoy siguiendo la costumbre (lamentable) de usar la sola palabra “potencial” para la energía potencial de la partícula, solo por brevedad. Esta costumbre también es común en la mecánica cuántica, pero en la electrodinámica estas dos nociones deben distinguirse claramente, ya que están en la parte EM de esta serie.