3.1: Sistemas unidimensionales y 1D-reducibles

Si una partícula se limita al movimiento a lo largo de una línea recta (digamos, eje\(x\)), su posición está completamente determinada por esta coordenada. En este caso, como ya sabemos, el Lagrangiano de partícula viene dado por la Ec. (2.21): de\[L=T(\dot{x})-U(x, t), \quad T(\dot{x})=\frac{m}{2} \dot{x}^{2},\] manera que la ecuación de movimiento de Lagrange, dada por la Ec. (2.22),\[m \ddot{x}=-\frac{\partial U(x, t)}{\partial x}\] es solo el\(x\) -componente de la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton.

Es conveniente discutir la dinámica de tales sistemas Really-1D como parte de una clase más general de sistemas efectivamente-1D, cuya posición, debido a restricciones holonómicas y/o leyes de conservación, también está completamente determinada por una coordenada generalizada\(q\), y cuya lagrangiana puede estar representada en una forma similar a la Ec. (1):\[L=T_{\text {ef }}(\dot{q})-U_{\text {ef }}(q, t), \quad T_{\text {ef }}=\frac{m_{\text {ef }}}{2} \dot{q}^{2},\] donde\(m_{\mathrm{ef}}\) hay alguna constante que puede considerarse como la masa efectiva del sistema, y la función\(U_{\mathrm{ef}}\) su energía potencial efectiva. En este caso, la ecuación de Lagrange (2.19), que describe la dinámica del sistema, tiene una forma similar a la ecuación (2):\[m_{\mathrm{ef}} \ddot{q}=-\frac{\partial U_{\mathrm{ef}}(q, t)}{\partial q} .\] Como ejemplo, volvamos de nuevo a nuestro sistema testbed mostrado en la Figura 2.1. Ya hemos visto que para este sistema, al tener un grado de libertad, la energía cinética genuina\(T\), expresada por la primera de las ecuaciones (2.23), no es una función cuadráticamente homogénea de la velocidad generalizada. Sin embargo, la función lagrangiana del sistema (2.23) todavía puede estar representada en la forma (3),\[L=\frac{m}{2} R^{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{m}{2} R^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \theta+m g R \cos \theta+\mathrm{const}=T_{\mathrm{ef}}-U_{\mathrm{ef}},\] si tomamos\[T_{\mathrm{ef}} \equiv \frac{m}{2} R^{2} \dot{\theta}^{2}, \quad U_{\mathrm{ef}} \equiv-\frac{m}{2} R^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \theta-m g R \cos \theta+\mathrm{const}\] En esta nueva partición de la función\(L\), que es legítima porque\(U_{\text {ef }}\) depende sólo de la coordenada generalizada\(\theta\), pero no en la velocidad generalizada correspondiente,\(T_{\text {ef }}\) incluye solo una parte de la energía cinética completa\(T\) de la perla, mientras que\(U_{\text {ef }}\) incluye no solo su energía potencial real\(U\) en el campo gravitatorio sino también un término adicional relacionado con la rotación del anillo. (Como veremos en la Sec. 4.6, este término puede interpretarse como la energía potencial efectiva debida a la “fuerza” centrífuga inercial que surge a la solución del problema en el marco de referencia no inercial que gira con el anillo).

Volviendo al caso general de los sistemas efectivamente-1D con lagrangianos del tipo (3), calculemos su función hamiltoniana, usando su definición (2.32):\[H=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q}-L=m_{\mathrm{ef}} \dot{q}^{2}-\left(T_{\mathrm{ef}}-U_{\mathrm{ef}}\right)=T_{\mathrm{ef}}+U_{\mathrm{ef}} .\] Entonces,\(H\) se expresa vía\(T_{\text {ef }}\) y\(U_{\text {ef }}\) exactamente como la energía\(E\) se expresa vía genuina \(T\)y\(U\).