3.2: Equilibrio y Estabilidad

Los sistemas autónomos se definen como sistemas dinámicos cuyas ecuaciones de movimiento no dependen explícitamente del tiempo. Para los sistemas efectivamente-1d (y en particular los realmente-1d) que obedecen a la ecuación (4), esto significa que su función\(U_{\mathrm{ef}}\), y por lo tanto la función lagrangiana (3) no deben depender explícitamente del tiempo. Según las ecuaciones (2.35), en tales sistemas, la función hamiltoniana (7), es decir, la suma\(T_{\text {ef }}+U_{\text {ef, }}\) es una integral del movimiento. Sin embargo, ¡ten cuidado! Generalmente, esta conclusión no es válida para la energía mecánica\(E\) de dicho sistema; por ejemplo, como ya sabemos de la Sec. 2.2, para nuestro problema del banco de pruebas, con la coordenada generalizada\(q=\theta\) (Figura 2.1), no\(E\) se conserva.

De acuerdo con la Ec. (4), un sistema autónomo, en condiciones iniciales apropiadas, puede permanecer en equilibrio en uno o varios puntos estacionarios (alternativamente llamados fijos)\(q_{n}\), correspondientes ya sea al mínimo o a un máximo de la energía potencial efectiva (ver Figura 1):\[\frac{d U_{\mathrm{ef}}}{d q}\left(q_{n}\right)=0\]

Figura 3.1. El perfil de energía potencial efectiva cerca de puntos\(\ \left(q_{1}\right)\) fijos estables\(\ \left(q_{0}, q_{2}\right)\) e inestables, y su aproximación cuadrática (10) cerca del punto\(\ q_{0}\) - esquemáticamente.

Para explorar la estabilidad de tales puntos fijos, analicemos la dinámica de pequeñas\[\widetilde{q}(t) \equiv q(t)-q_{n}\] desviaciones del equilibrio. Para ello, ampliemos la función\(U_{\text {ef }}(\mathrm{q})\) en la serie Taylor en un punto fijo:\[U_{\mathrm{ef}}(q)=U_{\mathrm{ef}}\left(q_{n}\right)+\frac{d U_{\mathrm{ef}}}{d q}\left(q_{n}\right) \widetilde{q}+\frac{1}{2} \frac{d^{2} U_{\mathrm{ef}}}{d q^{2}}\left(q_{n}\right) \widetilde{q}^{2}+\ldots\] El primer término en el lado derecho,\(U_{\text {ef }}\left(q_{n}\right)\), es arbitrario y no afecta el movimiento. El siguiente término, lineal en desviación\(\widetilde{q}\), es igual a cero - ver la definición del punto fijo (8). De ahí que la estabilidad del punto fijo esté determinada por el siguiente término, cuadrático en\(\widetilde{q}\), más exactamente por su coeficiente,\[\kappa_{\mathrm{ef}} \equiv \frac{d^{2} U_{\mathrm{ef}}}{d q^{2}}\left(q_{n}\right),\] que desempeña el papel de la constante de resorte efectiva. En efecto, descuidando los términos superiores de la expansión de Taylor\((10),{ }^{1}\) vemos que la ecuación (4) toma la forma familiar:\[m_{\mathrm{ef}} \ddot{\widetilde{q}}+\kappa_{\mathrm{ef}} \widetilde{q}=0 .\] confío en que el lector de estas notas sabe todo sobre esta ecuación, pero como pronto nos encontraremos con ecuaciones similares pero más complejas, revisemos lo formal procedimiento de su solución. Desde el punto de vista matemático, la Ec. (12) es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden, con coeficientes constantes. La teoría de tales ecuaciones nos dice que su solución general (para cualquier condición inicial) puede representarse como\[\widetilde{q}(t)=c_{+} e^{\lambda_{+} t}+c_{-} e^{\lambda_{-} t},\] donde las constantes\(c_{\pm}\) están determinadas por las condiciones iniciales, mientras que los llamados exponentes característicos\(\lambda_{\pm}\) están completamente definidos por la ecuación misma. Para calcular estos exponentes, basta con tapar solo una solución parcial,\(e^{\lambda t}\), en la ecuación. En nuestro caso simple (12), esto produce la siguiente ecuación característica:\[m_{\mathrm{ef}} \lambda^{2}+\kappa_{\mathrm{ef}}=0 .\] Si la relación\(k_{\mathrm{ef}} / m_{\mathrm{ef}}\) es positiva, es decir, el punto fijo corresponde al mínimo de energía potencial (por ejemplo, ver puntos\(q_{0}\) o\(q_{2}\) en la Figura 1), la ecuación característica rinde\[\lambda_{\pm}=\pm i \omega_{0}, \quad \text { with } \omega_{0} \equiv\left(\frac{\kappa_{\text {ef }}}{m_{\text {ef }}}\right)^{1 / 2},\] (donde \(i\)es la unidad imaginaria,\(i^{2}=-1\)), de manera que la Ec. (13) describe las oscilaciones sinusoidales del sistema,\({ }^{2}\)\[\widetilde{q}(t)=c_{+} e^{+i \omega_{0} t}+c_{-} e^{-i \omega_{0} t} \equiv c_{c} \cos \omega_{0} t+c_{s} \sin \omega_{0} t,\] con la frecuencia\(\omega_{0}\), alrededor del punto fijo -que con ello es estable. \({ }^{3}\)Por otro lado, en el máximo de energía potencial\(\left(k_{\text {ef }}<0\right.\), e.g.,\(q_{1}\) en el punto de la Figura 1), obtenemos\[\lambda_{\pm}=\pm \lambda, \quad \lambda \equiv\left(\frac{\left|\kappa_{\mathrm{ef}}\right|}{m_{\mathrm{ef}}}\right)^{1 / 2}, \quad \tilde{q}(t)=c_{+} e^{+\lambda t}+c_{-} e^{-\lambda t}\] Dado que la solución tiene una parte que crece exponencialmente,\({ }^{4}\) el punto fijo es inestable.

Obsérvese que la expansión cuadrática de la función\(U_{\mathrm{ef}}(q)\), dada por el truncamiento de la Ec. (10) a los tres términos mostrados, es equivalente a una expansión lineal de Taylor de la fuerza efectiva:\[F_{\text {ef }} \equiv-\frac{d U_{\text {ef }}}{d q} \approx-\kappa_{\text {ef }} \widetilde{q},\] inmediatamente resultando en la ecuación lineal (12). De ahí que para analizar la estabilidad de un punto fijo\(q_{n}\), es suficiente linealizar la ecuación de movimiento con respecto a pequeñas desviaciones del punto, y estudiar posibles soluciones de la ecuación lineal resultante. Este procedimiento de linealización suele ser más sencillo de llevar a cabo que la expansión cuadrática (10).

Como ejemplo, volvamos a nuestro problema testbed (Figura 2.1) cuya función ya\(U_{\text {ef }}\) conocemos - vea la segunda de Ecuaciones (6). Con ella, la ecuación de movimiento (4) se convierte en\[m R^{2} \ddot{\theta}=-\frac{d U_{\mathrm{ef}}}{d \theta}=m R^{2}\left(\omega^{2} \cos \theta-\Omega^{2}\right) \sin \theta, \quad \text { i.e. } \ddot{\theta}=\left(\omega^{2} \cos \theta-\Omega^{2}\right) \sin \theta,\] dónde\(\Omega \equiv(g / R)^{1 / 2}\) está la frecuencia de pequeñas oscilaciones del sistema en\(\omega=0\) - ver Ec. (A\(\left.2.26\right) .^{5}\) partir del requisito (8), vemos que en cualquier segmento\(2 \pi\) -largo del ángulo\(\theta,{ }^{6}\) el sistema puede tener cuatro puntos fijos; por ejemplo, on el segmento medio abierto\((-\pi,+\pi]\) estos puntos son\[\theta_{0}=0, \quad \theta_{1}=\pi, \quad \theta_{2,3}=\pm \cos ^{-1} \frac{\Omega^{2}}{\omega^{2}} .\] Los dos últimos puntos fijos, correspondientes al reborde desplazado a cada lado del anillo giratorio, existen solo si la velocidad angular\(\omega\) de la rotación excede\(\Omega\). (En el límite de rotación muy rápida,\(\omega>>\Omega\), Eq. (20) rinde\(\theta_{2,3} \rightarrow \pm \pi / 2\), es decir, las posiciones estacionarias se acercan al diámetro horizontal del anillo - de acuerdo con nuestra intuición física.) Para analizar la estabilidad del punto fijo, podemos usar nuevamente la Eq. (9), en la forma\(\theta=\theta_{n}+\widetilde{\theta}\), enchufarlo a la Ec. (19), y Taylor-ampliar las funciones trigonométricas de\(\theta\) hasta el primer término en\(\widetilde{\theta}\):\[\ddot{\tilde{\theta}}=\left[\omega^{2}\left(\cos \theta_{n}-\sin \theta_{n} \widetilde{\theta}\right)-\Omega^{2}\right]\left(\sin \theta_{n}+\cos \theta_{n} \widetilde{\theta}\right) .\] Generalmente, esta ecuación puede ser linealizada aún más purgando su lado derecho del término proporcional a\(\widetilde{\theta}^{2}\); sin embargo en este simple caso, la Ec. (21) ya es conveniente para el análisis. En particular, para el punto fijo\(\theta_{0}=0\) (correspondiente a la posición de la perla en la parte inferior del anillo), tenemos\(\cos \theta_{0}=1\) y\(\sin \theta_{0}=0\), de manera que la Ec. (21) se reduce a una ecuación diferencial lineal\[\ddot{\tilde{\theta}}=\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right) \tilde{\theta} \text {, }\] cuya ecuación característica es similar a la Eq. (14) y rinde\[\lambda^{2}=\omega^{2}-\Omega^{2}, \text { for } \theta \approx \theta_{0} .\] Esta resultado muestra que si\(\omega<\Omega\), cuando ambas raíces\(\lambda\) son imaginarias, este punto fijo es orbitalmente estable. No obstante, si se incrementa la velocidad de rotación de manera que\(\omega>\Omega\), las raíces se vuelven reales,\(\lambda_{\pm}=\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{1 / 2}\), con una de ellas positiva, de manera que el punto fijo se vuelve inestable más allá de este umbral, es decir, tan pronto como\(\theta_{2,3}\) existen los puntos fijos. Cálculos absolutamente similares para el rendimiento de otros puntos fijos\[\lambda^{2}= \begin{cases}\Omega^{2}+\omega^{2}>0, & \text { for } \theta \approx \theta_{1}, \\ \Omega^{2}-\omega^{2}, & \text { for } \theta \approx \theta_{2,3} .\end{cases}\] Estos resultados muestran que el punto fijo\(\theta_{1}\) (perla en la parte superior del anillo) siempre es inestable -tal como podríamos prever, mientras que los puntos fijos laterales\(\theta_{2,3}\) son orbitalmente estables en cuanto existen (at\(\omega>\Omega\)).

Así, nuestro análisis de punto fijo puede resumirse de manera muy simple: un aumento de la velocidad de rotación del anillo\(\omega\) más allá de un cierto valor umbral, igual al\(\Omega\) dado por la ecuación (2.26), hace que el reborde se mueva hacia uno de los lados del anillo, oscilando alrededor de uno de los puntos fijos\(\theta_{2,3}\). Junto con la rotación alrededor del eje vertical, este movimiento produce una trayectoria espacial bastante compleja (generalmente, abierta) como se observa desde un marco de laboratorio, por lo que es fascinante que podamos analizarlo cuantitativamente de una manera tan simple.

Posteriormente en este curso, utilizaremos repetidamente la linealización de las ecuaciones de movimiento para el análisis de estabilidad de sistemas más complejos, incluyendo aquellos con disipación de energía.

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\({ }^{1}\)Esos términos pueden ser importantes sólo en casos muy especiales entonces\(\kappa_{\text {ef }}\) es exactamente cero, es decir, cuando un punto fijo es un punto de inflexión de la función\(U_{\mathrm{er}}(q)\).

\({ }^{2}\)El lector no debe tener miedo de la primera forma de (16), es decir, de la representación de una variable real (la desviación del equilibrio) a través de una suma de dos funciones complejas. En efecto, cualquier condición inicial real da\(c_{-}^{*}=c_{+}\), para que la suma sea real para cualquiera\(t\). Una forma aún más sencilla de lidiar con representaciones tan complejas de funciones reales se discutirá al comienzo del siguiente capítulo, y luego se utilizará a lo largo de la serie.

\({ }^{3}\)Este tipo particular de estabilidad, cuando la desviación del equilibrio oscila con una amplitud constante, sin crecer ni disminuir en el tiempo, se denomina estabilidad orbital, o “neutra”, o “indiferente”.

\({ }^{4}\)Matemáticamente, la parte creciente se desvanece en algunas condiciones iniciales especiales (exactas) que dan\(c_{+}=0\). No obstante, la inutilidad de este argumento para los sistemas físicos reales debería ser obvia para cualquiera que alguna vez haya intentado equilibrar un lápiz en su punta afilada.

\({ }^{5}\)Obsérvese que la Ec. (19) coincide con la Ec. (2.25). Esta es una buena comprobación de cordura que ilustra que el procedimiento (5) - (6) de pasar de un término de la energía potencial a la cinética dentro de la función lagrangiana es efectivamente legítimo.

\({ }^{6}\)Para este problema en particular, los valores de\(\theta\) que difieren en un múltiplo de\(2 \pi\), son físicamente equivalentes.