4.4: Rotación Libre

Ahora pasemos al caso más complejo cuando el eje de rotación no es fijo. Una buena ilustración de la complejidad que surge en este caso proviene del caso de un cuerpo rígido dejado solo, es decir, no sometido a fuerzas externas y por lo tanto con su\(U\) constante de energía potencial. Dado que en este caso, según la ecuación (44), el centro de masa se mueve (medido desde cualquier marco de referencia inercial) con una velocidad constante, siempre podemos utilizar un marco de referencia inercial conveniente con el origen en ese punto. Desde el punto de vista de tal marco, el movimiento del cuerpo es una rotación pura, y\(T_{\text {tran }}=0\). De ahí que el lagrangiano del sistema equivale solo a la energía rotacional (15), que es, primero, una función cuadrática-homogénea de los componentes\(\omega_{j}\) (que puede tomarse para velocidades generalizadas), y, segundo, no depende explícitamente del tiempo. Como sabemos por el Capítulo 2, en este caso se conserva la energía mecánica, aquí igual a la\(T_{\text {rot }}\) sola. De acuerdo con la Ec. (15), para los componentes de ejes principales del vector\(\omega\), esto significa\[T_{\text {rot }}=\sum_{j=1}^{3} \frac{I_{j}}{2} \omega_{j}^{2}=\text { const }\] Siguiente, ya que la Ec. (33) muestra, en ausencia de fuerzas externas, el momento\(\mathbf{L}\) angular del cuerpo también se conserva. Sin embargo, aunque ciertamente podemos usar la ecuación (26) para representar este hecho como\[\mathbf{L}=\sum_{j=1}^{3} I_{j} \omega_{j} \mathbf{n}_{j}=\text { const },\] donde\(\mathbf{n}_{j}\) están los ejes principales, esto no significa que todos los componentes\(\omega_{j}\) sean constantes, porque los ejes principales son fijos con relación al cuerpo rígido, y por lo tanto pueden rotar con él.

Antes de explorar estas complicaciones, mencionemos brevemente dos casos particulares conceptualmente triviales, pero prácticamente muy importantes. El primero es un top esférico\(\left(I_{1}=I_{2}=I_{3}=I\right)\). En este caso, las ecuaciones (55) y (56) implican que se conservan todos los componentes del vector\(\omega=\mathbf{L} / \mathrm{I}\), es decir, tanto la magnitud como la dirección de la velocidad angular, para cualquier giro inicial. Es decir, el cuerpo conserva su velocidad de rotación y dirección del eje, tal como se mide en un marco inercial. El ejemplo más obvio es un planeta esférico. Por ejemplo, nuestra Madre Tierra, girando alrededor de su eje con velocidad angular\(\omega=2 \pi /(1\) día\() \approx\)\(7.3 \times 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1}\), mantiene su eje en un ángulo casi constante de\(23^{\circ} 27\) 'al polo eclíptico, es decir, el eje normal al plano de su movimiento alrededor del Sol. (En la Sec. 6 a continuación, discutiremos algunos movimientos muy lentos de este eje, debido a los efectos de la gravedad).

Las tapas esféricas también se utilizan en los giroscopios más precisos, generalmente con chorro de gas o suspensión magnética al vacío. Si se hacen con cuidado, dichos sistemas pueden tener una estabilidad espectacular. Por ejemplo, el sistema giroscopio del experimento satelital Gravity Probe B, volado en 2004-5, se basó en esferas de cuarzo - redondas con precisión de aproximadamente\(10 \mathrm{~nm}\) y cubiertas con películas delgadas superconductoras (lo que permitió su suspensión magnética y monitoreo). Todo el sistema fue lo suficientemente estable como para medir que el llamado efecto geodésico en la relatividad general (esencialmente, el espacio que se curva por la masa de la Tierra), dando como resultado la precesión del eje por solo segundos de\(6.6\) arco al año, es decir, con una frecuencia de precesión de justa\(\sim 10^{-11} \mathrm{~s}^{-1}\), concuerda con la teoría con un \(\sim 0.3 \%\)exactitud de registro. \({ }^{9}\)

El segundo caso simple es el de la parte superior simétrica\(\left(I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\right)\), con el vector inicial\(\mathbf{L}\) alineado con el eje principal principal. En este caso,\(\omega=\mathbf{L} / \mathrm{I}_{3}=\) const, para que se conserve el eje de rotación. \({ }^{10}\)Tales partes superiores, típicamente en forma de volante (rotor pesado y plano), y soportadas por un sistema de cardán de tres anillos (también llamado las “suspensiones cardán”) que permiten una rotación sin par alrededor de tres ejes mutuamente perpendiculares, ¹¹ se usan ampliamente en giroscopios más comunes. Inventado por Léon Foucault en la década de 1850 y hecho práctico por H. Anschütz-Kaempfe, tales giroscopios se han convertido en partes centrales de los sistemas de guiado automático, por ejemplo, en barcos, aviones, misiles, etc. Incluso si su soporte se tambalea y/o deriva, el giroscopio suspendido sostiene su dirección relativa a una inercial marco de referencia. ¹²

Sin embargo, en el caso general sin tal alineación inicial especial, la dinámica de las cimas simétricas es más complicada. En este caso, el vector aún\(\mathbf{L}\) se conserva, incluyendo su dirección, pero el vector no lo\(\omega\) es. En efecto, dirijamos el\(\mathbf{n}_{2}\) eje normalmente al plano común de vectores\(\mathbf{L}\) y la dirección instantánea actual\(\mathbf{n}_{3}\) del eje principal principal (en la Figura 8 a continuación, el plano del dibujo); entonces, en ese instante particular,\(L_{2}=0\). Ahora recordemos que en una parte superior simétrica, el eje\(\mathbf{n}_{2}\) es uno principal. De acuerdo con la Ec. (26) con\(j=2\), el componente correspondiente\(\omega_{2}\) tiene que ser igual a\(L_{2} / I_{2}\), por lo que es igual a cero. Esto significa que el vector\(\omega\) se encuentra en este plano (el plano común de vectores\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{n}_{3}\)) también - ver Figura 8a.

Figura 4.8. Rotación libre de una parte superior simétrica: (a) la configuración general de los vectores, y (b) calcular la frecuencia de precesión libre.

Ahora considere cualquier punto ubicado en el eje principal principal\(\mathbf{n}_{3}\), y por lo tanto en el plano\(\left[\mathbf{n}_{3}, \mathbf{L}\right]\). Ya que\(\omega\) es el eje de rotación instantáneo, de acuerdo con la Ec. (9), la velocidad instantánea\(\mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r}\) del punto se dirige normalmente a ese plano. Dado que esto es cierto para cada punto del eje principal (además de solo uno, con\(\mathbf{r}=0\), es decir, el centro de masa, que no se mueve), este eje en su conjunto tiene que moverse perpendicular al plano común de los vectores\(\mathbf{L}, \omega\), y\(\mathbf{n}_{3}\). Dado que esta conclusión es válida para cualquier momento del tiempo, significa que los vectores\(\omega\) y\(\mathbf{n}_{3}\) rotan alrededor del vector espacio-fijo\(\mathbf{L}\) juntos, con cierta velocidad angular\(\omega_{\text {pre }}\), en cada momento permaneciendo dentro de un plano. Este efecto suele llamarse precesión libre (o “libre de par”, o “regular”) precesión, y tiene que distinguirlo claramente del efecto completamente diferente de la precesión inducida por par, que se discutirá en la siguiente sección.Para calcular\(\omega_{\text {pre }}\), representemos el vector instantáneo \(\omega\)como una suma no de sus componentes cartesianos (como en la Figura 8a), sino más bien de dos vectores no ortogonales dirigidos a lo largo\(\mathbf{n}_{3}\) y\(\mathbf{L}\) (Figura 8b):\[\boldsymbol{\omega}=\omega_{\mathrm{rot}} \mathbf{n}_{3}+\omega_{\mathrm{pre}} \mathbf{n}_{L}, \quad \mathbf{n}_{L} \equiv \frac{\mathbf{L}}{L} .\]

La figura 8b muestra que\(\omega_{\text {rot }}\) tiene el significado de la velocidad angular de rotación del cuerpo alrededor de su eje principal principal, mientras que\(\omega_{\text {pre }}\) es la velocidad angular de rotación de ese eje alrededor de la dirección constante del vector\(\mathbf{L}\), es decir, la frecuencia de precesión, es decir, exactamente lo que somos tratando de encontrar. Ahora se\(\omega_{\text {pre }}\) puede calcular fácilmente a partir de la comparación de dos paneles de la Figura 8, al notar que el mismo ángulo\(\theta\) entre los vectores\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{n}_{3}\) participa en dos relaciones:\[\sin \theta=\frac{L_{1}}{L}=\frac{\omega_{1}}{\omega_{\text {pre }}} .\] Dado que el\(\mathbf{n}_{1}\) eje -es uno principal, podemos usar la Ec. (26) para\(j=1\), i.e. \(L_{1}=I_{1} \omega_{1}\), para eliminar\(\omega_{1}\) de la Ec. (58), y obtener una fórmula muy simple\[\omega_{\text {pre }}=\frac{L}{I_{1}} .\] Este resultado muestra que la frecuencia de precesión es constante e independiente de la alineación del vector\(\mathbf{L}\) con el eje principal principal\(\mathbf{n}_{3}\), mientras que la amplitud de este movimiento (caracterizado por el ángulo\(\theta\)) sí depende de la alineación, y desaparece si\(\mathbf{L}\) es paralelo a\(\mathbf{n}_{3} \cdot{ }^{13}\) Note también que si todos los momentos principales de inercia son del mismo orden,\(\omega_{\text {pre }}\) es del mismo orden que la velocidad angular total\(\omega \equiv|\omega|\) de rotación.

Ahora vamos a discutir brevemente la libre precesión en el caso general de un “top asimétrico”, es decir, un cuerpo con arbitrarios\(I_{1} \neq I_{2} \neq I_{3}\). En este caso, el efecto es más complejo porque aquí no sólo la dirección sino también la magnitud de la velocidad angular instantánea\(\omega\) puede evolucionar en el tiempo. Si solo nos interesa la relación entre los valores instantáneos de\(\omega_{j}\) y\(L_{j}\), es decir, las “trayectorias” de los vectores\(\omega\) y\(\mathbf{L}\) como se observa desde el marco\(\left\{\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n}_{3}\right\}\) de referencia de los ejes principales del cuerpo (más que la ley explícita de su evolución temporal), se pueden encontrar directamente de las leyes de conservación. (Permítanme recalcar nuevamente que el vector\(\mathbf{L}\), al ser constante en un marco de referencia inercial, generalmente evoluciona en el marco girando con el cuerpo.) En efecto, la ecuación (55) puede entenderse como la ecuación de un elipsoide en coordenadas cartesianas\(\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right\}\), de manera que para un cuerpo libre, el vector\(\omega\) tiene que permanecer en la superficie de ese elipsoide. \({ }^{14}\)Por otro lado, dado que la rotación del marco de referencia preserva la longitud de cualquier vector, la magnitud (¡pero no la dirección!) del vector también\(\mathbf{L}\) es una integral de movimiento en el marco móvil, y podemos escribir\[L^{2} \equiv \sum_{j=1}^{3} L_{j}^{2}=\sum_{j=1}^{3} I_{j}^{2} \omega_{j}^{2}=\text { const }\] De ahí que la trayectoria del vector\(\omega\) siga la curva cerrada formada por la intersección de dos elipsoides, (55) y (60). Es evidente que esta trayectoria es generalmente “en forma de taco-borde”, es decir, más compleja que un círculo plano, pero nunca muy compleja tampoco. \({ }^{15}\)

El mismo argumento puede repetirse para el vector\(\mathbf{L}\), para quien la primera forma de la Ec. (60) describe una esfera, y la Eq. (55), otro elipsoide:\[T_{\mathrm{rot}}=\sum_{j=1}^{3} \frac{1}{2 I_{j}} L_{j}^{2}=\mathrm{const} .\] Por otro lado, si nos interesa la trayectoria del vector\(\omega\) como se observa desde un marco inercial (en el que el vector\(\mathbf{L}\) se queda quieto), podemos señalar que la relación general (15) para la misma energía rotacional también\(T_{\text {rot }}\) puede reescribirse como\[T_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{3} \omega_{j} \sum_{j^{\prime}=1}^{3} I_{j j^{\prime}} \omega_{j^{\prime}} .\] Pero de acuerdo con la Ec. (22), la segunda suma en el lado derecho no es más que\(L_{j}\), por lo que\[T_{\text {rot }}=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{3} \omega_{j} L_{j}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L} .\] Esta ecuación muestra que para un cuerpo libre\(\left(T_{\text {rot }}=\right.\) const,\(\mathbf{L}=\) const), incluso si el vector\(\omega\) cambia en el tiempo, su punto final debe permanecer dentro de un plano perpendicular al momento angular\(\mathbf{L}\). (Anteriormente, hemos visto que para el caso particular de la parte superior simétrica - ver Figura 8b, pero para una parte superior asimétrica, la trayectoria del punto final puede no ser circular).

Si nos interesa no sólo la trayectoria del vector\(\omega\), sino también la ley de su evolución en el tiempo, se podrá calcular utilizando la Ecuación general (33) expresada en los componentes principales\(\omega_{j}\). Para ello, hay que recordar que la ecuación (33) sólo es válida en un marco de referencia inercial, mientras que el marco\(\left\{\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n}_{3}\right\}\) puede girar con el cuerpo y por lo tanto generalmente no es inercial. Podemos manejar este problema aplicando, al vector\(\mathbf{L}\), la relación cinemática general (8):\[\left.\frac{d \mathbf{L}}{d t}\right|_{\text {in lab }}=\left.\frac{d \mathbf{L}}{d t}\right|_{\text {in mov }}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L} \text {. }\] Combinándolo con la ecuación (33), en el marco móvil obtenemos\[\frac{d \mathbf{L}}{d t}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{L}=\boldsymbol{\tau},\] donde\(\tau\) está el par externo. En particular, para los componentes del eje principal\(L_{j}\), relacionados con los componentes\(\omega_{i}\) por la ecuación (26), la ecuación vectorial (65) se reduce a un conjunto de tres ecuaciones escalares de Euler\[I_{j} \dot{\omega}_{j}+\left(I_{j^{\prime \prime}}-I_{j^{\prime}}\right) \omega_{j^{\prime}} \omega_{j^{\prime \prime}}=\tau_{j},\] donde el conjunto de índices\(\left\{j, j^{\prime}, j\right.\) "\(\}\)tiene que seguir el orden “correcto” habitual, por ejemplo,\(\{1,2,3\}\) , etc.\(^{16}\)

Para tener una idea de cómo funcionan las ecuaciones de Euler, volvamos al caso particular de un top simétrico libre\(\left(\tau_{1}=\tau_{2}=\tau_{3}=0, I_{1}=I_{2} \neq I_{3}\right)\). En este caso,\(I_{1}-I_{2}=0\), de manera que la Ec. (66) con\(j=3\) rinde\(\omega_{3}=\) const, mientras que las ecuaciones para\(j=1\) y\(j=2\) toman la siguiente forma simple:

\[\dot{\omega}_{1}=-\Omega_{\text {pre }} \omega_{2}, \quad \dot{\omega}_{2}=\Omega_{\text {pre }} \omega_{1},\]donde\(\Omega_{\text {pre }}\) es una constante determinada tanto por los parámetros del sistema como por las condiciones iniciales:\[\Omega_{\mathrm{pre}} \equiv \omega_{3} \frac{I_{3}-I_{1}}{I_{1}} .\] El sistema de dos ecuaciones (67) tiene una solución sinusoidal con frecuencia\(\Omega_{\text {pre }}\), y describe una rotación uniforme del vector\(\omega\), con esa frecuencia, alrededor del eje principal \(\mathbf{n}_{3}\). Esta es solo otra representación de la precesión sin par analizada anteriormente, esta vez como se observa desde el cuerpo giratorio. Evidentemente,\(\Omega_{\text {pre }}\) es sustancialmente diferente de la frecuencia\(\omega_{\text {pre }}(59)\) de la precesión como se observa desde el marco de laboratorio; por ejemplo, se\(\Omega_{\text {pre }}\) desvanece para la parte superior esférica (con\(I_{1}=I_{2}=I_{3}\)), mientras que\(\omega_{\text {pre }}\), en este caso, es igual a la frecuencia de rotación.

Desafortunadamente, para la rotación de una parte superior asimétrica (es decir, un cuerpo rígido arbitrario), cuando no\(\omega_{j}\) se conserva ningún componente, las ecuaciones de Euler (66) son fuertemente no lineales incluso en ausencia de cualquier par externo, y una discusión de sus soluciones tomaría más tiempo del que puedo permitirme. \({ }^{17}\)

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\({ }^{9}\)Aún así, no se ha logrado el objetivo principal de este proyecto bastante caro (750 millones de dólares), una medición precisa de un efecto relativista más sutil, la llamada deriva de arrastre de cuadro (también llamada “la precesión de Schiff”), que se predice que será de aproximadamente segundos de\(0.04\) arco al año.

\({ }^{10}\)Esto también es cierto para una parte superior asimétrica, es decir, un cuerpo arbitrario (con, digamos,\(I_{1}<I_{2}<I_{3}\)), pero en este caso la alineación del vector\(\mathbf{L}\) con el eje\(\mathbf{n}_{2}\) correspondiente al momento intermedio de inercia, es inestable: una desalineación inicial infinitesimal de estos vectores puede conducen a su gran desalineación durante el movimiento.

\({ }^{11}\)Ver, por ejemplo, una animación muy agradable disponible en línea en http://en.Wikipedia.org/wiki/Gimbal.

\({ }^{12}\)Los giroscopios mucho más compactos (y mucho menos precisos) utilizados, por ejemplo, en teléfonos inteligentes y tabletas, se basan en un efecto de rotación más sutil sobre la frecuencia del oscilador mecánico, y se implementan como sistemas microelectromecánicos (MEMS) en superficies de chips de silicio - ver, por ejemplo, Capítulo 22 en V. Kaajakari, MEMS Práctico, Small Gear Publishing, 2009.

\({ }^{13}\)Para nuestra Tierra, la amplitud de precesión libre es tan pequeña (correspondiente a desplazamientos lineales sub-10-m de la superficie terrestre) que este efecto es del mismo orden que otros movimientos más irregulares del eje de rotación, resultantes de los efectos turbulentos del flujo de fluido en el interior del planeta y su ambiente.

\({ }_{14}\)Con frecuencia se le llama elipsoide de Poinsot, que lleva el nombre de Louis Poinsot (1777-1859) quien ha hecho varias contribuciones importantes a la mecánica del cuerpo rígido.

\({ }^{15}\)Curiosamente, el movimiento “tambaleante” a lo largo de tales trayectorias se observó no solo para cuerpos rígidos macroscópicos, sino también para núcleos atómicos pesados - véase, por ejemplo, N. Sensharma et al., Phys. Rev. Lett. 124, 052501 (2020).

\({ }^{16}\)Estas ecuaciones son, por supuesto, válidas también en el caso más simple del eje de rotación fijo. Por ejemplo, si\(\omega=\)\(\mathbf{n}_{z} \omega\), es decir\(\omega_{x}=\omega_{y}=0\), la Ec. (66) se reduce a la Ec. (38).

\({ }^{17}\)Para nuestra Tierra con su abultamiento ecuatorial (ver Sec. 6 a continuación), la proporción\(\ \left(I_{3}-I_{1}\right) / I_{1}\) es\(\ \sim 1 / 300\), por lo que\(\ 2 \pi / \Omega_{\text {pre }}\) es de unos 10 meses. Sin embargo, debido a los efectos de flujo de fluido mencionados anteriormente, la precesión observada no es muy regular.

\({ }^{18}\)Dicha discusión se puede encontrar, por ejemplo, en la Sec. 37 de L. Landau y E. Lifshitz, Mechanics,\(3^{\text {rd }}\) ed., Butterworth-Heinemann,\(1976 .\)