7.9: Problemas de ejercicio

7.1. Una lámina delgada uniforme de un material isotrópico, elástico, de espesor\(t\) y área\(A \gg t^{2}\), es comprimida por dos superficies planas, paralelas, anchas, rígidas - ver la figura a la derecha. Asumiendo que no hay deslizamiento entre la lámina y las superficies, calcule la compresión\((-\Delta t / t)\) relativa en función de la fuerza de compresión. Compare el resultado con el del esfuerzo de tracción, calculado en la Sec. 7.

7.2. Dos bordes opuestos de una lámina delgada y muy ancha de un material isotrópico y elástico han sido sujetados en dos paredes rígidas, planas y paralelas que se separan con fuerza\(F\), a lo largo de la hoja\(l\). Encuentre la extensión relativa\(\Delta l / l\) de la lámina en la dirección de la fuerza, y su compresión relativa\(\Delta t / t\) en la dirección perpendicular, y compare los resultados con las ecuaciones (7.45) - (7.46) para el esfuerzo de tracción y la solución del problema anterior.

7.3. Calcular la extensión radial\(\Delta R\) de una tubería cilíndrica delgada, larga y redonda, debido a su rotación con una velocidad angular constante\(\omega\) alrededor de su eje de simetría (ver la figura a la derecha), en términos de los módulos elásticos\(E\) y\(v\). La presión externa tanto dentro como fuera de la tubería es insignificante.

7.4. Un riel largo y uniforme con la sección transversal que se muestra en la figura de la derecha, se está doblando con el mismo par (pequeño) dos veces: primero dentro del\(x z\) plano y luego dentro del\(y z\) plano. Suponiendo que\(t<<l\), encuentre la relación de las deformaciones de flexión del riel en estos dos casos.

7.5. Dos varillas delgadas de la misma longitud y masa están hechas del mismo material elástico e isotrópico. La sección transversal de uno de ellos es un círculo, mientras que el otro es un triángulo equilátero - ver la figura a la derecha. ¿Cuál de las varillas es más rígida para doblarse a lo largo de su longitud? Cuantificar la relación. ¿El resultado depende de la orientación del plano de flexión?

7.6. Una viga delgada, elástica, uniforme, inicialmente recta se coloca sobre dos soportes puntuales a la misma altura\(-\) ver la figura a la derecha. ¿Qué colocación de soporte minimiza la mayor desviación de la viga desde la línea base horizontal, bajo su propio peso?

Pista: Una respuesta aproximada (con una precisión mejor que\(1 \%\)) es aceptable.

7.7. Calcule la mayor fuerza de compresión longitudinal\(\mathscr{T}\) que pueda ser resistida por una varilla delgada, recta y elástica sin troquecer (ver la figura de la derecha) para dos casos mostrados:

(i) los extremos de la varilla están sujetos, y

(ii) la varilla es libre de girar alrededor de los puntos de soporte.

 

7.8. Un sondeo elástico, ligero y delgado con sección transversal cuadrada de área\(A=a \times a\), había sido cavado firmemente en el suelo en posición vertical, sobresaliendo por altura\(h>>a\). ¿Qué masa compacta más grande se\(M\) puede colocar directamente en la parte superior de la encuesta sin la pérdida de estabilidad?

7.9. Calcular la energía potencial de una pequeña deformación por flexión, que cambia lentamente, pero por lo demás arbitraria, de una varilla uniforme, elástica, inicialmente recta. ¿Se puede utilizar el resultado para derivar la relación de dispersión (136)?

7.10. Calcular la rigidez torsional de una varilla delgada y uniforme cuya sección transversal es una elipse con semiejes\(a\) y\(b\).

7.11. Calcular la energía potencial de una deformación torsional pequeña pero arbitraria\(\varphi_{z}(z)\) de una varilla elástica uniforme, recta.

7.12. Calcular la constante elástica\(\ \kappa \equiv d F / d l\) de un muelle helicoidal hecho de un alambre uniforme y elástico, con sección transversal circular de diámetro\(d\), enrollado como una densa espiral redonda de\(N \gg>1\) giros de radio\(R \gg d-\) ver la figura a la derecha.

7.13. El muelle en espiral, descrito en el problema anterior, ahora se utiliza como lo que a veces se llama el resorte de torsión - ver la figura de la derecha. Encuentra la constante elástica correspondiente\(d \tau / d \varphi\), donde\(\tau\) está el par de las fuerzas externas con relación al centro de la bobina (punto 0).

7.14. Use las Ecuaciones (99) y (100) para refundir la Eq. (101b) para la rigidez torsional\(C\) de una varilla delgada en la forma dada por la Eq. (101c).

7.15. \({ }^{*}\)Generalizar la Eq. (101b) al caso de varillas con más de un límite de sección transversal. Utilice el resultado para calcular la rigidez torsional de una tubería redonda delgada y compararla con la Eq. (91).

7.16. Un alambre de acero largo tiene una sección transversal circular con un diámetro de 3 mm, y está pre-estirado con una fuerza constante de\(10 \mathrm{~N}\). ¿Cuál de las ondas longitudinales y transversales con frecuencia\(1 \mathrm{kHz}\) tiene la mayor velocidad de grupo en el alambre? Acepte los siguientes parámetros para el acero (ver Cuadro 1):\(E=\)\(170 \mathrm{GPa}, v=0.30, \rho=7.8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\).

7.17. Definir y calcular las impedancias de onda para (i) ondas de tracción y (ii) de torsión en una varilla delgada, apropiada en el límite de onda larga. Utilice los resultados para calcular la fracción de la potencia de cada onda\(\mathscr{P}\) reflejada desde una conexión firme de una varilla larga de sección transversal redonda a una varilla similar, pero con un diámetro dos veces menor\(-\) vea la figura a la derecha.