7.8: Ondas Elásticas en Barras Delgadas

Por lo que hemos comentado al final de la última sección, debería quedar bastante claro que en general, la propagación de ondas acústicas en cuerpos elásticos de tamaño finito puede ser muy complicada. Sin embargo, existe un límite importante en el que se pueden obtener fácilmente varios resultados importantes. Este es el límite de frecuencias (relativamente) bajas, donde la longitud de onda correspondiente es mucho mayor que al menos una dimensión de un sistema. Consideremos, por ejemplo, diversas ondas que pueden propagarse a lo largo de varillas delgadas, en este caso “delgadas” lo que significa que el tamaño característico\(a\) de la sección transversal de la varilla es mucho menor que no sólo la longitud de la varilla, sino también la longitud de onda\(\lambda=2 \pi / k\). En este caso, existe un rango considerable de distancias\(z\) a lo largo de la varilla,\[a<<\Delta z<<\lambda,\] en el sentido de que podemos descuidar la inercia del material, y aplicar los resultados de nuestros análisis estáticos anteriores.

Por ejemplo, para una onda longitudinal de tensión, que es esencialmente una onda de extensiones de tracción periódicas y compresiones de la varilla, dentro del rango (129) podemos usar la relación estática (42):

\[\sigma_{z z}=E s_{z z} .\]Para lo que sigue, es más fácil utilizar la ecuación general de dinámica elástica no en su forma vectorial (107), sino más bien en la forma precursora, de componente cartesiano\((25)\), con\(f_{j}=0\). Para las ondas planas que se propagan a lo largo\(z\) del eje, solo un componente (con\(j^{\prime} \rightarrow z\)) de la suma en el lado derecho de esta ecuación no es igual a cero, y se reduce a\[\rho \frac{\partial^{2} q_{j}}{\partial^{2} t^{2}}=\frac{\partial \sigma_{j z}}{\partial z} .\] En nuestro caso actual de ondas longitudinales, todos los componentes del tensor de tensión pero\(\sigma_{z z}\) son iguales a cero. Con\(\sigma_{z z}\) de la Ec. (130), y usando la definición\(s_{z z}=\partial q_{z} / \partial z\), la ecuación (131) se reduce a una ecuación de onda simple,\[\rho \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial^{2} t^{2}}=E \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial z^{2}},\] lo que demuestra que la velocidad de tales ondas de tracción es\[v=\left(\frac{E}{\rho}\right)^{1 / 2}\] Comparando este resultado con la ecuación (112), vemos que la velocidad de onda de tracción, para cualquier material realista con un relación Poisson positiva, es menor que la velocidad\(v_{1}\) de las ondas longitudinales en el grueso del mismo material. La razón de esta diferencia es simple: en varillas delgadas, la sección transversal es libre de oscilar (por ejemplo, encogerse en la fase de extensión longitudinal de la onda que pasa), de\({ }^{42}\) manera que la fuerza efectiva que resiste la deformación longitudinal es menor que en un espacio libre de bordes. Dado que (como es claramente visible a partir de la ecuación de onda), la escala de la fuerza determina la de\(v^{2}\), esta diferencia se traduce en ondas más lentas en varillas. Por supuesto, a medida que la frecuencia de onda se incrementa a\(k a \sim 1\), hay un cruce (bastante complejo y dependiendo de la sección transversal) de la Ec. (133) a la Ec. (112).

Procediendo a las ondas transversales en varillas, primero echemos un vistazo a las ondas de flexión largas, para lo cual se satisface la condición (129), de manera que el vector\(\mathbf{q}=\mathbf{n}_{x} q_{x}\) (siendo el\(x\) eje -eje la dirección de flexión ver Figura 8) es prácticamente constante en toda la sección transversal. En este caso, el único componente del tensor de tensión que contribuye a la fuerza transversal neta\(F_{x}\) es\(\sigma_{x z}\), de manera que la integral de la ecuación (131) sobre la sección transversal es\[\rho A \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial F_{x}}{\partial z}, \quad \text { with } F_{x}=\int_{A} \sigma_{x z} d^{2} r .\] Ahora, si se satisface la ecuación (129), nuevamente podremos usar las relaciones locales estáticas (75) - (77), con todas las derivadas\(d / d z\) debidamente reemplazados por su forma parcial\(\partial / \partial z\), para expresar la fuerza a\(F_{x}\) través de la deformación por flexión\(q_{x}\). Tapando estas relaciones entre sí una por una, llegamos a una ecuación diferencial bastante inusual\[\rho A \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial t^{2}}=-E I_{y} \frac{\partial^{4} q_{x}}{\partial z^{4}} .\] Buscando su solución en forma de onda sinusoidal (108), obtenemos la siguiente relación de dispersión no lineal: 43\[\omega=\left(\frac{E I_{y}}{\rho A}\right)^{1 / 2} k^{2} .\] Tal relación significa que las ondas de flexión no son acústicas en cualquier frecuencia, y no puede caracterizarse por una sola velocidad que sea válida para todos los números de onda\(k\), es decir, para todos los componentes espaciales de Fourier de una forma de onda. Según nuestra discusión en la Sec. 6.3, tales sistemas fuertemente dispersivos no pueden pasar formas de onda no sinusoidales demasiado lejos sin cambiar su forma de onda bastante considerablemente.

Esta situación cambia, sin embargo, si la varilla se preestira con una fuerza\(\mathscr{T}\) de tensión, al igual que en el modelo discreto 1D que se analizó en la Sec. 6.3. El cálculo del efecto de esta fuerza es esencialmente similar; repitémoslo para el caso continuo, por un minuto descuidando el esfuerzo de flexión - ver Figura\(13 .\)

Fig. 7.13. Fuerzas adicionales en una varilla delgada (“cuerda”), debido a la tensión de fondo\(\ \mathscr{T}\).

Aún pegándose al límite de ángulos pequeños\(\varphi\), el componente vertical adicional\(d \mathscr{T}_{x}\) de la fuerza neta que actúa sobre un pequeño fragmento de varilla de longitud\(d z\) es\(\mathscr{T}_{x}(z-d z)-\mathscr{T}_{x}(z)=\mathscr{T} \varphi_{y}(z+d z)-\mathscr{T} \varphi_{y}(z) \approx \mathscr{T}\left(\partial \varphi_{y} / \partial z\right) d z\), de manera que\(\partial F_{x} / \partial z=\mathscr{T}\left(\partial \varphi_{y} / \partial z\right)\). Con la relación geométrica (77) en su forma parcial-derivada\(\partial q_{x} / \partial z=\varphi_{y}\), este término adicional se convierte\(\mathcal{T}\left(\partial^{2} q_{x} / \partial z^{2}\right)\). Ahora agregándolo al lado derecho de la Ec. (135), obtenemos la siguiente relación de dispersión\[\omega^{2}=\frac{1}{\rho A}\left(E I_{y} k^{4}+\mathscr{T}^{2}\right)\] Dado que el producto\(\rho A\) en el denominador de esta expresión es solo la masa de la varilla por unidad de longitud (que se denotó\(\mu\) en el Capítulo 6), a bajas\(k\) (y por lo tanto bajas frecuencias), esta expresión se reduce a la ley de dispersión lineal, con la velocidad dada por la Ec. (6.43):\[v=\left(\frac{\mathscr{T}}{\rho A}\right)^{1 / 2} .\] Así Ec. (137) describe un cruce suave de las ondas acústicas de “cuerdas de guitarra” a las ondas de flexión altamente dispersivas (136).

Ahora consideremos otro tipo de ondas transversales en varillas delgadas, las llamadas ondas torsionales, que son esencialmente la propagación dinámica de la deformación torsional discutida en la Sec. 6. La manera más fácil de describir estas ondas, nuevamente dentro de los límites (129), es escribir la ecuación de rotación de un pequeño segmento\(d z\) de la varilla alrededor del\(z\) eje -eje, pasando por el “centro de masa” de su sección transversal, bajo la diferencia de pares\(\tau=\mathbf{n}_{z} \tau_{z}\) aplicados en sus extremos - ver Figura 10:\[\rho I_{z} d z \frac{\partial^{2} \varphi_{z}}{\partial t^{2}}=d \tau_{z},\] donde\(I_{z}\) está el “momento de inercia” definido por la Ec. (91), que ahora, después de su multiplicación por\(\rho d z\), es decir, por la masa por unidad de área, se ha convertido en el momento genuino de inercia de una rebanada\(d z\) -gruesa de la varilla. Dividiendo ambos lados de la ecuación (139) por\(d z\), y usando la relación local estática (84)\(\tau_{z}=C \kappa=C\left(\partial \varphi_{z} / \partial z\right)\), obtenemos la siguiente ecuación diferencial\[\rho I_{z} \frac{\partial^{2} \varphi_{z}}{\partial t^{2}}=C \frac{\partial^{2} \varphi_{z}}{\partial z^{2}} .\] Así como las ecuaciones (111), (115) y (132), esta ecuación describe una onda acústica (libre de dispersión), que se propaga con la siguiente frecuencia- velocidad independiente\[v=\left(\frac{C}{\rho I_{z}}\right)^{1 / 2} .\] Como hemos visto en la Sec. 6, para varillas con secciones transversales axialmente simétricas, la rigidez torsional\(C\) se describe por la relación simple (89)\(C=\mu I_{z}\), de manera que la Ec. (141) se reduce a la Eq. (116) para las ondas transversales en medios infinitos. La razón de esta similitud es simple: en una onda torsional, las partículas oscilan a lo largo de pequeños arcos (Figura 14a), de manera que si la sección transversal de la varilla es redonda, su superficie está libre de tensiones, y no perturbe ni modifica el movimiento de ninguna manera, y por lo tanto no afecta la velocidad transversal.

Figura 7.14. Trayectorias de partículas en dos ondas transversales diferentes con la misma velocidad: (a) ondas torsionales en una varilla redonda delgada y (b) ondas polarizadas circularmente en una muestra infinita (o muy amplia).

Este hecho plantea un tema interesante de la relación entre las ondas torsionales y polarizadas circularmente. En efecto, en la Sec. 7, no he enfatizado lo suficiente que la Eq. (116) sea válida para una onda transversal polarizada en cualquier dirección perpendicular al vector\(\mathbf{k}\) (en nuestra notación, dirigida a lo largo del\(z\) eje -eje). En particular, esto significa que tales ondas son doblemente degeneradas: cualquier continuo elástico isotrópico puede llevar simultáneamente dos ondas transversales no interaccionantes que se propagan en la misma dirección con la misma velocidad (116), con dos polarizaciones lineales mutuamente perpendiculares (direcciones del vector a), para ejemplo, dirigido a lo largo de los\(y\) ejes\(x\) - y -. \({ }^{44}\)Si ambas ondas son sinusoidales (108), con la misma frecuencia, cada punto del medio participa en dos movimientos sinusoidales simultáneos dentro del\([x, y]\) plano:\[q_{x}=\operatorname{Re}\left[a_{x} e^{i(k z-\omega t)}\right]=A_{x} \cos \Psi, \quad q_{y}=\operatorname{Re}\left[a_{y} e^{i(k z-\omega t)}\right]=A_{y} \cos (\Psi+\varphi),\] dónde\(\Psi \equiv k z-\omega t+\varphi_{x}\), y\(\varphi \equiv \varphi_{y}-\varphi_{x}\). La geometría básica nos dice que la trayectoria de tal movimiento en el\([x, y]\) plano es una elipse (Figura 15), por lo que tales ondas se denominan polarizadas elípticamente. Los casos particulares más importantes de dicha polarización son:

(i)\(\varphi=0\) o\(\pi\). una onda linealmente polarizada, con el vector a se dirige en ángulo\(\theta=\tan ^{-1}\left(A_{y} / A_{x}\right)\) relativo al eje\(x\); y

(ii)\(\varphi=\pm \pi / 2\) y\(A_{x}=A_{y}\): dos posibles ondas polarizadas circularmente, con polarización derecha o izquierda, respectivamente. \({ }_{4}^{4}\)

Figura 7.15. La trayectoria de una partícula en una onda transversal polarizada elípticamente, dentro del plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Ahora comparando las trayectorias de partículas en la onda torsional en una varilla (o tubería) redonda delgada y la onda polarizada circularmente en una muestra amplia (Figura 14), vemos que, a pesar de la misma velocidad de propagación de onda, estas ondas transversales son bastante diferentes. En el primer caso (Figura 14a) cada partícula se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de un arco, con la longitud del arco diferente para diferentes partículas (y desapareciendo en el centro de la varilla), de manera que las ondas no son planas. Por otro lado, en una onda polarizada circularmente, todas las partículas se mueven a lo largo de trayectorias similares, circulares, de manera que tal\(i s\) plano de onda.

Para concluir este capítulo, permítanme mencionar brevemente el límite opuesto, cuando el tamaño del cuerpo, desde cuyo límite se reflejan completamente las ondas,\({ }^{46}\) es mucho mayor que la longitud de onda. En este caso, las ondas se propagan casi como en un continuo 3D infinito (que se analizó en la Sec. 7), y el nuevo efecto más importante son los números finitos de modos de onda en el cuerpo. Repitiendo el\(1 \mathrm{D}\) análisis al final de la Sec. 6.5, para cada dimensión de un cuboide 3D de volumen\(V=l_{1} l_{2} l_{3}\), y tomando en cuenta que los números\(k_{n}\) en cada una de las 3 dimensiones son independientes, obtenemos la siguiente generalización de la Ec. (6.75) para el número\(\Delta N\) de diferentes viajes ondas con vectores de onda dentro de un volumen relativamente pequeño\(d^{3} k\) del espacio del vector de onda:\[d N=g \frac{V}{(2 \pi)^{3}} d^{3} k \gg 1, \quad \text { for } \frac{1}{V}<<d^{3} k<<k^{3},\] donde\(k \gg>>1 / l_{1,2,3}\) está el centro de este volumen, y\(g\) es el número de diferentes modos de onda posibles con el mismo vector de onda\(\mathbf{k}\). Para las ondas mecánicas analizadas anteriormente, con un modo longitudinal, y dos modos transversales con diferentes polarizaciones,\(g=3\).

Obsérvese que dado que la derivación de las ecuaciones (6.75) y (143) no utiliza otras propiedades de las ondas (en particular, sus relaciones de dispersión), la regla de conteo de modos es ubicua en la física, siendo válida, en particular, para ondas electromagnéticas (donde\(g=2\)) y cuánticas “ondas de Broglie” (i.e. ondulaciones), cuyo factor de degeneración\(g\) suele estar determinado por el giro de la partícula. \({ }^{47}\)

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\({ }^{42}\)Por esta razón, las ondas de tracción pueden llamarse longitudinales solo en un sentido limitado: mientras que la onda de tensión es puramente longitudinal:\(\sigma_{x x}=\sigma_{y y}=0\), la onda de deformación no es:\(s_{x x}=s_{y y}=-\sigma_{z z} \neq 0\), i.e\(\mathbf{q}(\mathbf{r}, t) \neq \mathbf{n}_{z} q_{z}\).

\({ }^{43}\)Obsérvese que dado que el “momento de inercia”\(I_{y}\), definido por la ecuación (70), puede depender de la dirección de flexión (a menos que la sección transversal sea suficientemente simétrica), la relación de dispersión (136) puede dar resultados diferentes para diferentes direcciones de la polarización de la onda de flexión.

\({ }^{44}\)Como se mostró en la Sec. 6.3, esto es cierto incluso en el modelo 1D simple mostrado en la Figura 6.4a.

\({ }^{45}\)Las ondas polarizadas circularmente juegan un papel importante en la mecánica cuántica, donde pueden ser cuantificadas de manera más natural, con sus excitaciones elementales (en el caso de las ondas mecánicas que estamos discutiendo, llamadas fonones) teniendo un momento angular positivo o negativo\(L_{z}=\pm \hbar\).

\({ }^{46}\)Para las ondas acústicas, tal condición es fácil de implementar. En efecto, a partir de la Sec. 7 ya sabemos que la fuerte desigualdad de impedancias de onda\(Z\) es suficiente para tal reflexión. Los números del Cuadro 1 muestran que, por ejemplo, la impedancia de una onda longitudinal en un metal típico (digamos, acero) es casi dos órdenes de magnitud mayor que la del aire, asegurando su reflexión prácticamente completa desde la superficie.

\({ }^{47}\)Véase, por ejemplo, EM Secs. \(7.8\)y QM Sec. 1.7.