8.7: Problemas de ejercicio

8.1. Encuentre la corrección de primer orden a la ecuación de Pascal (6) para un líquido, debido a su baja pero distinta de cero compresibilidad, y evalúe esta corrección para el agua en el fondo de los océanos de la Tierra.

8.2. Encuentre la forma estacionaria de la superficie abierta de un fluido pesado e incompresible en un contenedor girado alrededor de su eje vertical con una velocidad angular constante\(\omega\) - vea la figura a la derecha.

8.3.* Utilice dos enfoques diferentes para calcular la forma estacionaria de la superficie de un fluido incompresible de densidad\(\rho\) cerca de una pared plana vertical, en un campo de gravedad uniforme; vea la figura a la derecha. En particular, encuentre la altura\(h\) de elevación del líquido en la superficie de la pared en función del ángulo de contacto\(\theta_{c}\).

8.4. \(^{*}\)Una película de jabón con tensión superficial\(\gamma\) se estira entre dos anillos similares, coaxiales, delgados y redondos de radio\(R\), separados por la distancia\(d\) - vea la figura a la derecha. Descuidando la gravedad, calcule la forma de equilibrio de la película y la fuerza necesaria para mantener los anillos a la distancia fija.

8.5. Una esfera sólida de radio\(R\) se mantiene en un flujo estable y libre de vorticismo de un fluido incompresible ideal, con velocidad\(v_{0}\). Encontrar la distribución espacial de velocidad y presión, y en particular sus valores extremos. Compara los resultados con los obtenidos en la Sec. 4 para un cilindro redondo.

8.6. Una pequeña fuente, ubicada a\(d\) distancia de una pared plana de un recipiente lleno de un fluido ideal e incompresible de densidad\(\rho\), inyecta fluido adicional isotrópicamente, a una corriente de masa constante (“descarga”)\(Q \equiv d M / d t-\) ver la figura a la derecha. Calcular la distribución de la velocidad del fluido y su presión sobre el

Pista: Recordemos el método de imagen de carga en electrostática,\({ }^{51}\) y contempla su posible análogo.

8.7. Calcular las energías cinéticas, potenciales y completas (por unidad de área) promedio de una onda sinusoidal viajera, de pequeña amplitud\(q_{A}\), en la superficie horizontal sobre un fluido de densidad ideal, incompresible, profundo\(\rho\), en un campo de gravedad uniforme\(\mathbf{g}\).

8.8. Calcular la potencia promedio (por unidad de ancho del frente de onda) transportada por la onda superficial discutida en el problema anterior, y relacionar el resultado con la energía de la ola.

8.9. Derive Eq. (48) para las ondas superficiales sobre una capa de espesor finito de un líquido pesado.

8.10. Derive Eq. (50) para las ondas capilares (“ondulaciones”).

8.11 .* Derivar una ecuación\(2 \mathrm{D}\) diferencial que describa la propagación de\((\lambda>>h)\) ondas relativamente largas en la superficie de una capa ancha y plana de espesor\(h\), de un fluido ideal e incompresible, y utilízala para calcular los modos y frecuencias de onda estacionaria más largos en una capa que cubra un planeta esférico de radio\(R \gg>\) h.

Pista: La segunda tarea requiere cierta familiaridad con las propiedades básicas de los armónicos esféricos. \({ }^{52}\)

8.12. Calcular la distribución de velocidad y la relación de dispersión de las ondas que se propagan a lo largo de la interfaz horizontal de dos fluidos ideales e incompresibles de diferentes densidades.

8.13. Utilice la aproximación de diferencia finita para el operador de Laplace, con el escalón de malla\(h=\)\(a / 4\), para encontrar la velocidad máxima y el flujo másico total\(Q\) de un fluido viscoso e incompresible a través de una tubería larga con una sección transversal cuadrada de lado\(a\). Comparar los resultados con los descritos en la Sec. 5 para el mismo problema con el escalón de malla\(h=a / 2\), y para una tubería con la sección transversal circular de la misma área.

8.14. Una capa, de espesor\(h\), de un fluido pesado, viscoso e incompresible fluye hacia abajo por un plano inclinado largo y ancho, bajo su propio peso - ver la figura a la derecha. Encuentre el perfil de distribución de velocidad estacionaria y la descarga total de fluido (por unidad de ancho).

8.15. Calcular el par de arrastre ejercido sobre una unidad de longitud de un cilindro redondo sólido de radio\(R\) que gira alrededor de su eje, con velocidad angular\(\omega\), dentro de un fluido incompresible con viscosidad\(\eta\), mantenido estático lejos del cilindro.

8.16. Calcular la fuerza tangencial (por unidad de área) ejercida por un fluido incompresible, con densidad\(\rho\) y viscosidad\(\eta\), sobre un plano sólido amplio colocado sobre su superficie y forzado a oscilar, a lo largo de la superficie, con amplitud\(a\) y frecuencia\(\omega\).

8.17. Una barcaza masiva, con fondo plano de área\(A\), flota en aguas poco profundas, con espacio libre\(h \ll A^{1 / 2}-\) ver la figura a la derecha. Analizar la dependencia temporal de la velocidad\(V(t)\) de la barcaza y el perfil de velocidad del agua, después de que el motor de la barcaza haya sido apagado. Discutir los límites de valores grandes y pequeños del parámetro adimensional\(M / \rho A h\).

8.18. * Derivar una expresión general para la tasa de pérdida de energía mecánica en un fluido viscoso incompresible que obedece a la ecuación de Navier-Stokes, y usa esta expresión para calcular el coeficiente de atenuación de las ondas superficiales, asumiendo que la viscosidad es pequeña. (Cuantificar esta condición).

8.19. Utilice la ecuación de Navier-Stokes para calcular el coeficiente de atenuación de una onda acústica sinusoidal plana.

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\({ }^{51}\)Véase, por ejemplo, EM Secs. 2.9, 3.3 y 4.3.

\({ }^{52}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. \(2.8\)y/o QM Sec. 3.6.