8.6: Turbulencia

Como muestra la Figura 15, el resultado de Stokes solo\((71)-(72)\) es válido en\(\operatorname{Re}<<1\), mientras que para valores mayores del número de Reynolds, es decir, a velocidades más altas\(v_{0}\), la fuerza de arrastre es mayor. Este mismo hecho no es del todo sorprendente, pues en la derivación del resultado de Stokes, el término no lineal\((\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\) en la ecuación de Navier-Stokes (53), que escala como\(v^{2}\), se descuidó en comparación con los términos lineales, escalando como\(v\). Lo que es más sorprendente es que la función\(C_{\mathrm{d}}(R e)\) exhibe un comportamiento tan complicado sobre muchos órdenes de magnitud de velocidad, dando una pista de que el flujo de fluido a grandes números de Reynolds también debería ser muy complicado. En efecto, la razón de esta complejidad es un desarrollo gradual de patrones de fluidos muy intrincados, dependientes del tiempo, llamados turbulencia, ricos en vórtices, por ejemplo, ver Figura 16. Estos vórtices son especialmente pronunciados en la región detrás del cuerpo en movimiento (la llamada estela), mientras que la región anterior al cuerpo permanece casi imperturbada. Como indica la Figura 15, la turbulencia exhibe comportamientos bastante diferentes a diversas velocidades (es decir, valores de\(\operatorname{Re}\)), y a veces cambia bastante abruptamente - ver, por ejemplo, la significativa caída de arrastre en\(\operatorname{Re} \approx 5 \times 10^{5}\).

Para entender las condiciones de este fenómeno, estimaremos la escala de diversos términos de la ecuación de Navier-Stokes (53) para el caso genérico de un cuerpo con tamaño característico\(l\), moviéndose en un fluido por lo demás estático, incompresible, con velocidad\(v\). En este caso, la escala de tiempo característica de posibles fenómenos no estacionarios viene dada por la relación\(l / v,{ }^{41}\) para que lleguemos a las siguientes estimaciones:\[\begin{array}{lcccc} \text { Equation term: } & \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} & \rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} & \mathbf{f} & \eta \nabla^{2} \mathbf{v} \\ \text { Order of magnitude: } & \rho \frac{v^{2}}{l} & \rho \frac{v^{2}}{l} & \rho g & \eta \frac{v}{l^{2}} \end{array}\] (me he saltado el término\(\nabla \mathcal{P}\) porque como vimos en el apartado anterior, en problemas típicos de flujo de fluido equilibra el término de viscosidad , y por lo tanto es del mismo orden de magnitud.) La Ec. (75) muestra que la importancia relativa de los términos puede caracterizarse por dos relaciones adimensionales. \({ }^{42}\)

Figura 8.15. El coeficiente de arrastre\(C_{\mathrm{d}}\) para una esfera en un fluido incompresible, en función del número de Reynolds (Obsérvese la\(\log -\log\) gráfica). Los datos experimentales son de\(\mathrm{F}\). Eisner, Das Widerstandsproblem, en: Proc. \(3^{\text {rd }}\)Int. Congreso sobre Appl. Mech., Estocolmo,\(1931 .\)

El primero de ellos es el llamado número Froude\({ }^{43}\)\[F \equiv \frac{\rho v^{2} / l}{\rho g} \equiv \frac{v^{2}}{l g},\] que caracteriza la importancia relativa de la gravedad -o, tras la modificación apropiada, de otras fuerzas a granel. En la mayoría de los problemas prácticos (con la importante excepción de las ondas superficiales, ver Sec. 4 anterior)\(F \gg>1\), de manera que los efectos de la gravedad pueden ser descuidados.

Fig. 8.16. Una instantánea de la turbulenta cola (estela) detrás de una esfera moviéndose en un fluido con un alto número de Reynolds, mostrando la llamada calle vórtice von Kármán. Adaptado del original (en realidad, una animación muy bonita, http://www.mcef.ep.usp.br/staff/jmen...areo/vort2.gif) de Cesareo de La Rosa Siqueira, como material libre de derechos de autor, disponible en https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87351.

Mucho más importante es otra relación, el número de Reynolds (74), que puede reescribirse como\[R e \equiv \frac{\rho v l}{\eta} \equiv \frac{\rho v^{2} / l}{\eta v / l^{2}},\] y por lo tanto es una medida de la importancia relativa de la inercia de la partícula de fluido en comparación con los efectos de viscosidad. \({ }^{44}\)Entonces nuevamente, es natural que para una esfera, el papel del término generador de vorticismo\((\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\) se haga notorio ya en\(\operatorname{Re} \sim 1-\) ver Figura 15. Lo que es muy contrario a la intuición es el inicio de la turbulencia en sistemas donde el flujo laminar (libre de turbulencias) es formalmente una solución exacta a la ecuación de Navier-Stokes para cualquiera\(\operatorname{Re}\). Por ejemplo, en\(\operatorname{Re}>\operatorname{Re}_{\mathrm{t}} \approx 2,100\) (con\(l \equiv 2 R\) y\(v \equiv v_{\max }\)) el flujo laminar en una tubería redonda, descrito por la ecuación (60), se vuelve inestable, y la turbulencia resultante disminuye la descarga de fluido\(Q\) en comparación con la ley de Poiseuille (62). Aún más sorprendente, el valor crítico de\(R e\) es bastante insensible a la rugosidad de la pared de la tubería y no diverge incluso en el límite de paredes perfectamente lisas.

Ya que\(\operatorname{Re} \gg 1\) en muchas situaciones de la vida real,\({ }^{45}\) la turbulencia es muy importante para la práctica. Sin embargo, a pesar de casi un siglo de investigación intensiva, no existe una teoría analítica general y cuantitativa de este fenómeno,\({ }^{46}\) y la mayoría de los resultados aún se obtienen mediante tratamientos analíticos bastante aproximados, o mediante la solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes utilizando los enfoques discutidos en la sección anterior, o en experimentos (por ejemplo, en modelos a escala\({ }^{47}\) en túneles de viento). Solo ciertas características generales semicuantitativas pueden entenderse fácilmente a partir de simples argumentos.

Por ejemplo, la Figura 15 muestra que dentro de un rango muy amplio de números de Reynolds,\(\sim 3 \times 10^{5}, C_{\mathrm{d}}\) de\(\sim 10^{2}\) a de una esfera es del orden de 1. Además, para un disco plano, delgado y redondo, perpendicular al flujo incidente,\(C_{\mathrm{d}}\) está muy cerca\(1.1\) para cualquier\(\operatorname{Re}>10^{3}\). La igualdad aproximada\(C_{\mathrm{d}} \approx 1\), es decir, la fuerza de arrastre\(F \approx \rho v_{0}^{2} A / 2\), puede entenderse (en la imagen donde el objeto es movido por una fuerza externa\(F\) con la velocidad\(v_{0}\) a través de un fluido que inicialmente estaba en reposo) como la igualdad de la potencia entregada por la fuerza\(F v_{0}\) y la del fluido energía cinética\(\left(\rho v_{0}^{2} / 2\right) V\) creada en volumen\(V=v_{0} A\) en unidad de tiempo. Esta relación sería exacta si el objeto diera su velocidad\(v_{0}\) a todas y cada una de las partículas de fluido en las que se encuentra su sección transversal, por ejemplo arrastrando todas esas partículas detrás de sí mismo. En realidad, gran parte de esta energía cinética entra en vórtices, donde la velocidad de las partículas puede diferir\(v_{0}\), de manera que la igualdad\(C_{\mathrm{d}} \approx 1\) es sólo aproximada.

Desafortunadamente, debido a las restricciones de tiempo/espacio, para una discusión más detallada de estos resultados tengo que referir al lector a literatura más especializada,\({ }^{48}\) y concluiré este capítulo con una breve discusión de un solo tema: ¿la turbulencia puede ser “explicada por un solo mecanismo”? (En otras palabras, ¿puede reducirse, al menos a nivel semicuantitativo, a un conjunto de fenómenos más simples que comúnmente se consideran “bien entendidos”?) Aparentemente la respuesta es no, 49 aunque la dinámica no lineal de sistemas más simples puede proporcionar algunas ideas útiles.

A mediados del siglo pasado, la explicación cualitativa más popular de la turbulencia había sido la formación de una “cascada de energía” que transferiría la energía del flujo regular de fluidos a una jerarquía de vórtices de diversos tamaños. \({ }^{50}\)Con nuestros antecedentes, es más fácil volver a contar esa historia en el lenguaje del dominio del tiempo (con la velocidad\(v\) sirviendo como factor de conversión), utilizando el hecho de que en un vórtice giratorio cada componente cartesiano del radio-vector de una partícula oscila en el tiempo, de manera que hasta cierto punto el vórtice juega el papel de un modo de movimiento oscilatorio.

Consideremos el paso de un cuerpo sólido entre dos partes, inicialmente cercanas, pequeñas partes del fluido. El cuerpo los separa, pero tras su paso, estos volúmenes parciales son libres de regresar a sus posiciones iniciales. Sin embargo, el dominio de los efectos de inercia en movimiento con\(\operatorname{Re}>>1\) significa que los volúmenes continúan “oscilando” por un tiempo alrededor de esas posiciones de equilibrio. (Dado que los volúmenes elementales de un fluido incompresible no pueden fusionarse, estas oscilaciones toman la forma de vórtices giratorios, ver nuevamente la Figura 16).

Ahora, de la Sec. \(5.8\)sabemos que las oscilaciones intensivas en un sistema con la no linealidad cuadrática, en este caso proporcionada por el término convectivo\((\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v}\), son equivalentes, para pequeñas perturbaciones, a la oscilación de los parámetros del sistema a la frecuencia correspondiente. Por otro lado, como se discutió brevemente en la Sec. 6.7, en un sistema con dos grados de libertad oscilatorios, un cambio periódico de parámetros con frecuencia\(\omega_{\mathrm{p}}\) puede conducir a la excitación paramétrica no degenerada (“conversión descendente”) de oscilaciones con frecuencias que\(\omega_{1,2}\) satisfacen la relación \(\omega_{1}+\omega_{2}=\omega_{\mathrm{p}}\). Además, el espectro de oscilaciones en dicho sistema también tiene frecuencias combinacionales más altas como\(\left(\omega_{\mathrm{p}}+\omega_{1}\right)\), empujando así la energía de oscilación hacia arriba en la escala de frecuencia (“conversión ascendente”). En presencia de otros modos oscilatorios, estas oscilaciones pueden a su vez producir, a través de la misma no linealidad, frecuencias aún más altas, etc. En un fluido, el espectro de estos “modos oscilatorios” (en realidad, estructuras de vórtice) es esencialmente continuo, de manera que los argumentos anteriores hacen muy plausible una secuencia transferencia de la energía del cuerpo en movimiento a una amplia gama de modos oscilatorios, cuyo espectro de frecuencia está limitado desde arriba por la disipación de energía debido a la viscosidad del fluido. Cuando se excitan, estos modos interactúan (en particular, el bloqueo de fase mutuo) a través de la no linealidad del sistema, creando el movimiento complejo que llamamos turbulencia.

Aunque no tienen mucho poder predictivo cuantitativo, tales explicaciones de mano, que se basan esencialmente en la excitación de un gran número de grados efectivos de libertad, habían estado dominando las revisiones de turbulencia hasta mediados de la década de 1960. En ese punto, el descubrimiento (o más bien el redescubrimiento) de movimientos casi aleatorios en sistemas dinámicos clásicos con\(a\) pocos grados de libertad alteró sustancialmente la discusión. Ya que este fenómeno, llamado el caos determinista, se extiende mucho más allá de la dinámica de fluidos, y le dedicaré un próximo capítulo separado (aunque corto), y en su final volverá brevemente a la discusión de la turbulencia.

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\({ }^{41}\)La escala de tiempo de los fenómenos en sistemas no autónomos puede ser diferente de\(l / v\); por ejemplo, para oscilaciones forzadas de flujo de fluido con frecuencia\(\omega\), viene dada por el período de oscilación\(\tau \equiv 2 \pi / \omega\). Para tales problemas, la relación\(S \equiv(l / v) / T\) sirve como otra constante adimensional independiente, comúnmente llamada número Strouhal o frecuencia reducida.

\({ }^{42}\)Para fluidos sustancialmente compresibles (por ejemplo, gases), el parámetro adimensional adicional más importante es el número Mach\(M \equiv v / v_{1}\), donde\(v_{1}=(K / \rho)^{1 / 2}\) está la velocidad del sonido longitudinal, que es, como ya sabemos del Capítulo 7, el único modo de onda posible en un fluido infinito. Especialmente significativos para la práctica son los efectos supersónicos (incluida la onda de choque en forma del famoso cono Mach con medio ángulo\(\theta_{\mathrm{M}}=\sin ^{-1} M^{1}\)) que surgen en\(M>1\). Para una discusión más profunda de estos temas, tengo que remitir al lector a textos más especializados -ya sea el Capítulo IX del volumen Landau-Lifshitz citado anteriormente o el Capítulo 15 en I. Cohen y P. Kundu, Mecánica de Fluidos,\(4^{\text {th }}\) ed., Prensa Académica, 2007- que generalmente es un buen libro sobre el tema. Otro libro de texto popular, bastante básico, es R. Granger, Mecánica de Fluidos, Dover, 1995.

\({ }^{43}\)Nombrado así en honor a William Froude (1810-1879) quien ha hecho varias contribuciones importantes a la hidrodinámica aplicada.

\({ }^{44}\)Tenga en cuenta que la viscosidad “dinámica”\(\eta\) participa en este número (y muchos otros problemas de la dinámica de fluidos) solo en la combinación\(\eta / \rho\), lo que con ello ha merecido un nombre especial de viscosidad cinemática.

\({ }^{45}\)En efecto, los valores de\(\eta\) y\(\rho\) para el agua enumerados en el Cuadro 1 implican que incluso para un objeto de pocos metros de tamaño (como un cuerpo humano o una embarcación pequeña),\(R e>1,000\) a cualquier velocidad por encima de solo\(\sim 1 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}\).

\({ }^{46}\)Una rara excepción es el resultado teórico relativamente reciente de S. Orszag (1971) para el umbral de turbulencia en un flujo de un fluido incompresible a través de un hueco de espesor\(t\) entre dos paredes planas paralelas (ver Figura 10):\(R e_{\mathrm{t}} \approx\) 5,772 (for\(l=t / 2, v=v_{\max }\)). Sin embargo, este resultado no predice los patrones de turbulencia en\(\operatorname{Re}>\operatorname{Re}_{\mathrm{t}}\).

\({ }^{47}\)La condición crucial del modelado correcto es la igualdad de los números de Reynolds (74) (y si es relevante, también de los números de Froude y/o los números Mach) del objeto de interés y su modelo.

\({ }^{48}\)Véase, por ejemplo, P. Davidson, Turbulence, Oxford U. Press,\(2004 .\)

\({ }^{49}\)La siguiente cita famosa se le atribuye a Werner Heisenberg en su lecho de muerte: “Cuando encuentre a Dios, le haré dos preguntas: ¿Por qué la relatividad? ¿Y por qué turbulencias? Creo que va a tener una respuesta para la primera pregunta”. Aunque probablemente inexacta, esta historia refleja bastante bien la comprensible frustración de la comunidad física fundamental, conocida por su mentalidad reduccionista, con la enorme complejidad de los fenómenos que obedecen ecuaciones simples (por ejemplo, las Navier-Stokes), es decir, desde su punto de vista, no describen cualquier nueva física.

\({ }^{50}\)Esta imagen fue sugerida en 1922 por Lewis F. Richardson.