1.2: Una cuerda apretada
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Tomemos la pista y veamos primero un trozo de cuerda uniforme en reposo bajo alta tensión entre dos puntos a la misma altura, para que quede casi horizontal.
Cada pedacito de la cuerda está en equilibrio estático, por lo que las fuerzas sobre ella se equilibran. En primer lugar, su peso actuando hacia abajo es\(\begin{equation}m g=\lambda g d x\end{equation}\),\(\lambda\) siendo la masa uniforme por unidad de longitud. Segundo, las fuerzas de tensión en los dos extremos no se equilibran del todo debido al pequeño cambio en la pendiente.
Representando la configuración de la cadena como una curva\(\begin{equation}y(x)\end{equation}\), el equilibrio de fuerzas da
\[T \frac{d y(x+d x)}{d x}-T \frac{d y(x)}{d x}=T \frac{d^{2} y}{d x^{2}} d x=\lambda g d x\]
así\(\begin{equation}d^{2} y / d x^{2}=\lambda g / T, \text { and } y=(\lambda g / 2 T) x^{2}\end{equation}\), tomando como origen el punto más bajo de la cadena.
Entonces la curva es una parábola (¡pero sigue leyendo!).