1.4: Arcos ideales

Ahora consideremos algunas curvas al revés, arcos. Comienza con un arco romano, una U invertida.

Por lo general, los arcos romanos se encuentran en conjuntos como este, pero consideremos un arco de pie libre. Supongamos que está hecho de bloques que tienen la misma sección transversal en todas partes. ¿Cuál es la fuerza entre bloques vecinos? Haremos una versión invertida del análisis de fuerza de cadena que acabamos de hacer.

Al igualar las fuerzas de presión sobre el segmento de arco coloreado oscuro en la figura, vemos que la presión sobre el bloque más bajo del segmento debe tener un componente horizontal, para equilibrar el forzado en el punto superior, por lo que el cemento entre bloques está bajo esfuerzo cortante, o, para no cemento, hay un fuerte fuerza de fricción estática lateral. (Entonces una serie de arcos, como se muestra en la fotografía anterior, se apoyan mutuamente con presión horizontal.)

Por lo tanto, un solo arco romano como este no es un diseño ideal, podría desmoronarse lateralmente.

Definamos un arco ideal como aquel que no tiene tendencia a desmoronarse de lado, hacia afuera o hacia adentro. Esto significa que no hay esfuerzo cortante (lateral) entre bloques, y eso significa que la fuerza de presión entre los bloques en contacto es una fuerza normal, actúa a lo largo de la línea del arco. ¡Eso debería sonar familiar! Para una cuerda colgante, obviamente la tensión actúa a lo largo de la línea de la cuerda.

Añadiendo a nuestra definición de arco ideal que los bloques tienen la misma masa por unidad de longitud a lo largo de todo el arco, tal vez pueda ver que el equilibrio de fuerza estática para el arco es idéntico al de la cuerda colgante uniforme, excepto que todo está invertido, la tensión ahora es presión, todo está al revés abajo.

Sin embargo, aparte de los signos, las ecuaciones son matemáticamente idénticas, y la forma ideal del arco es una catenaria. Por supuesto, algunos arcos construidos reales, como el famoso de San Luis, no tienen masa uniforme por unidad de longitud (es más gruesa en la parte inferior) por lo que la curva se desvía un poco de la catenaria ideal del arco.

Aquí hay una imagen de los arcos de catenaria, estos arcos están en Barcelona, en una casa diseñada por el arquitecto Gaudí.

De hecho, Gaudí diseñó una iglesia en Barcelona usando una red de cuerdas y pesos para encontrar las formas correctas para los arcos: colocó un gran espejo horizontal sobre las cuerdas, ¡así que mirando en el espejo pudo ver cómo se vería el edificio correcto real! —La imagen inferior muestra cómo lo hizo. (Este modelo está en la iglesia.)