3.3: Principio de Fermat

Ahora nos olvidaremos temporalmente de la naturaleza ondulada de la luz, y consideraremos un rayo estrecho o haz de luz que brilla del punto A al punto B, donde suponemos que A está en el aire, B en vidrio. Fermat demostró que el camino de tal haz viene dado por el Principio del Menor Tiempo: un rayo de luz que va de A a B por cualquier otro camino tardaría más tiempo. ¿Cómo podemos ver eso? Es obvio que cualquier desviación de una trayectoria en línea recta en el aire o en el vidrio se va a sumar al tiempo que lleva, pero ¿qué pasa con mover ligeramente el punto en el que la viga entra en el cristal?

Donde el aire se encuentra con el vidrio, los dos rayos, separados por una pequeña distancia CD = d a lo largo de esa interfaz, se verán paralelos:

(Feynman da una bonita ilustración: un socorrista en una playa ve a un nadador en problemas a cierta distancia, en dirección diagonal. Puede correr tres veces más rápido de lo que puede nadar. ¿Cuál es el camino más rápido hacia el nadador?)

Al mover el punto de entrada una pequeña distancia\(d\), la luz tiene que recorrer un extra\(d \sin \theta_{1}\) en el aire, pero una distancia menos por\(d \sin \theta_{2}\) en el cristal, dando un tiempo extra de viaje\(\Delta t=d \sin \theta_{1} / c-d \sin \theta_{2} / v\). Para el camino clásico, la Ley de Snell da\(\sin \theta_{1} / \sin \theta_{2}=n=c / v, \text { so } \Delta t=0\) a primer orden. Pero si nos fijamos en una serie de caminos posibles, cada uno a una pequeña\(d\) distancia del siguiente en el punto de cruzar del aire al cristal,\(\Delta t \text { becomes of order } d / c\) lejos del camino clásico.

Pero ahora echemos un vistazo más de cerca a la imagen Huygens de propagación de la luz: sugeriría que la luz que llega a un punto en realidad proviene de muchas ondículas generadas en diferentes puntos del frente de onda anterior. Una generalización de mano podría ser que la luz que llega a un punto desde otro punto en realidad incluye múltiples caminos. Para mantener las cosas manejables, supongamos que la luz de A a B realmente va por todos los caminos que son rectos en cada medio, pero diferentes puntos de cruce. Además, haremos la aproximación de que todos alcanzan B con igual amplitud. ¿Cuál será el aporte total de todos los caminos en B? Dado que los tiempos a lo largo de los caminos son diferentes, las señales a lo largo de los diferentes caminos llegarán a B con diferentes fases, y para obtener la amplitud de onda total debemos agregar una serie de vectores unidad 2 D, uno de cada trayectoria. (Representando la amplitud y fase de la onda por un número complejo para mayor comodidad; para una onda real, podemos tomar la parte real al final).

Cuando trazamos estos vectores de unidad 2 D, encontramos que en la vecindad del camino clásico, la fase varía poco, pero a medida que nos alejamos de ella la fase gira cada vez más rápidamente, por lo que esos caminos interfieren entre sí de manera destructiva. Para formular esto un poco más precisamente, supongamos que algún camino cercano tiene una diferencia de fase con respecto al trayecto\(\varphi\) de menor tiempo, y va del aire al vidrio a una\(x\) distancia del camino de menor tiempo: luego para estos caminos cercanos,\(\varphi=a x^{2}\), donde a depende de la disposición geométrica y la longitud de onda. A partir de esto, la suma sobre los caminos cercanos es una integral de la forma\(\int e^{i a x^{2}} d x\) (Estamos asumiendo que la longitud de onda de la luz es mucho menor que el tamaño del equipo). Esta es una integral estándar, su valor es que\(\sqrt{\pi / i a}\) todo su peso se concentra en una zona central de ancho\(1 / \sqrt{a}, \text { exactly as for the real function } e^{-a x^{2}}\).

Esta es la explicación del Principio de Fermat: solo cerca del camino de menor tiempo los caminos permanecen aproximadamente en fase entre sí y se suman constructivamente. Entonces, esta regla clásica del camino tiene una explicación subyacente de la fase de onda. De hecho, el papel central de la fase en este análisis a veces se enfatiza diciendo que el haz de luz sigue el camino de la fase estacionaria.

Por supuesto, aquí no estamos sumando todos los caminos —suponemos que el camino en el aire desde la fuente hasta el punto de entrada al cristal es una línea recta, claramente el sub-trayecto de la fase estacionaria.