5.1: Algunos ejemplos

Triángulos similares son solo versiones escaladas hacia arriba (o hacia abajo) entre sí, lo que significa que tienen los mismos ángulos. Escalar significa lo mismo en un sistema mecánico: si un planeta puede dar la vuelta al sol en una órbita elíptica dada, otro planeta puede ir en una versión ampliada de esa elipse (el sol permanece en el foco). Pero tomará más tiempo: así que no podemos simplemente escalar las dimensiones espaciales, para obtener la misma ecuación de movimiento debemos escalar el tiempo también, y no en general por el mismo factor.

De hecho, podemos establecer la escala relativa del espacio y el tiempo en esta instancia con un análisis dimensional muy simple. Sabemos que la aceleración radial del planeta va como el cuadrado inverso de la distancia, así

\[\text {(radial acceleration)} \times \text{(distance) }^{2}= \text{constant}\]

la dimensionalidad de esta expresión es

\[L T^{-2} L^{2}=L^{3} T^{-2},\]

por lo

\[T^{2} \propto L^{3}.\]

el cuadrado del tiempo de una órbita es proporcional al cubo del tamaño de la órbita. Un poco más explícitamente, la aceleración

\[\propto G M_{\mathrm{Sun}} / r^{2},\]

así que para lo mismo\(G M_{\mathrm{Sun}}\), si duplicamos el tamaño de la órbita, la ecuación será la misma pero con el tiempo orbital arriba por\(2 \sqrt{2}\).

Galileo estableció que los sistemas mecánicos reales, como una persona, no son invariantes a escala. Un gigante diez veces las dimensiones lineales de un humano le rompería la cadera en el primer escalón. El punto es que el peso estaría arriba en un factor de 1,000, la resistencia ósea, yendo como área de sección transversal, sólo en 100.

La similitud mecánica es importante es la construcción de pequeños modelos de grandes sistemas. Una aplicación particularmente importante es el flujo de fluido, por ejemplo en la evaluación de las fuerzas de arrastre de fluido en un barco, avión o automóvil en movimiento. Hay dos tipos diferentes de arrastre fluido: arrastre friccional viscoso y arrastre inercial, este último causado por que el cuerpo tiene que desviar el medio a medida que avanza. Los patrones de flujo dependen de la importancia relativa de estas dos fuerzas de arrastre, esta relación adimensional, inercial/viscosa, se denomina número de Reynolds. Para dar resultados significativos, las velocidades de flujo de aire alrededor de los modelos deben ajustarse para darle al modelo el mismo número de Reynolds que el sistema real.