5.2: Tratamiento Lagrangiano

(Aquí seguimos a Landau.) Dado que las ecuaciones de movimiento se generan minimizando la acción, que es una integral de lo lagrangiano a lo largo de una trayectoria, el movimiento no se verá afectado si el lagrangiano se multiplica por una constante. Si la energía potencial es una función homogénea de las coordenadas, la reescalación la multiplicaría por un factor constante. Si nuestro sistema consiste en partículas que interactúan a través de tal energía potencial, será posible reescalar el tiempo para que, reescalando tanto el espacio como el tiempo, el lagrangiano se multiplique por una constante general, por lo que las ecuaciones de movimiento se verán igual.

Específicamente, si la energía potencial\(U\) es homogénea de grado\(\begin{equation}k\end{equation}\) y las coordenadas espaciales son escaladas por un factor\ (\ begin {ecuación}
\ alpha
\ end {ecuación}\)

\ begin {ecuación}
(\ alfa/\ beta) ^ {2} =\ alfa^ {k},\ quad\ beta=\ alfa^ {1-\ frac {1} {2} k}
\ final {ecuación}

Para órbitas planetarias,\ (\ begin {ecuación}
k=-1,\ text {so}\ beta^ {2} =\ alpha^ {3}
\ end {ecuación}\), confirmando nuestra derivación agitando la mano arriba.

Para el oscilador armónico simple,\ (\ begin {ecuación}
U (\ vec {r})\ propto\ vec {r} ^ {2}\ text {so} k=2\ text {and}\ beta=0
\ end {ecuación}\) ¿Qué significa eso? Escalar la órbita no afecta el tiempo, el tiempo de oscilación es siempre el mismo.

Caer bajo gravedad:\ (\ begin {equation}
k=1,\ beta=\ sqrt {\ alpha,} x\ propto t^ {2}
\ end {equation}\) Así que duplicar la escala de tiempo requiere cuadruplicar la escala de longitud para obtener el movimiento escalado idéntico al original.