5.3: El Teorema del Virial

Para una energía potencial homogénea en las coordenadas, de grado\(\begin{equation}k\end{equation}\), digamos, y movimiento espacialmente delimitado, existe una relación simple entre los promedios de tiempo de la energía cinética,\(\begin{equation}\bar{T}, \text { and potential energy, } \bar{U} \end{equation}\). Se llama teorema del virio.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Virial Theorem

\[ 2 \bar{T}=k \bar{U}\]

Prueba

Desde

\[ T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \vec{v}_{i}^{2}, \quad \vec{p}_{i}=m_{i} \vec{v}_{i}=\partial T / \partial \vec{v}_{i}\]

tenemos

\[ 2 T=\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{v}_{i}=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{r}_{i}\right)-\sum_{i} \vec{r}_{i} \cdot \dot{\vec{p}}_{i}\]

Ahora promediamos los términos en esta ecuación a lo largo de un tiempo muy largo, es decir, tomar

\[ \bar{f}=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} f(t) d t\]

Como dijimos que las órbitas están delimitadas en el espacio, y asumimos también en impulso, el término diferencial exacto contribuye

\[ \frac{1}{\tau}\left[\left(\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{r}_{i}\right)_{\text {at final }}-\left(\sum_{i} \vec{p}_{i} \cdot \vec{r}_{i}\right)_{\text {at initial }}\right] \rightarrow 0 \]

en el límite del tiempo infinito.

Así que tenemos el tiempo promediado

\[2 \bar{T}=\sum_{i} \vec{r}_{i} \cdot \partial U / \partial \vec{r}_{i} \]

y para una energía potencial una función homogénea de grado\(k\) en las coordenadas, a partir del teorema de Euler:

\[ 2 \bar{T}=k \bar{U}\]

Entonces, por ejemplo, en un oscilador armónico simple la energía cinética promedio es igual a la energía potencial promedio, y para un sistema de cuadrados inversos, la energía cinética promedio es la mitad de la energía potencial promedio en magnitud, y de signo opuesto (siendo por supuesto positiva).