6.5: Nota matemática - la transformación de Legendre
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El cambio de variables descrito anteriormente es una rutina matemática estándar conocida como la transformada de Legendre. Aquí está la esencia de la misma, para una función de una variable. Supongamos que tenemos una función\(f(x)\) que es convexa, que es la plática matemática porque siempre se curva hacia arriba, el significado\(d^{2} f(x) / d x^{2}\) es positivo. Por lo tanto su pendiente, lo llamaremos
\[y=d f(x) / d x\]
es una función monótonamente creciente de x. Para algunos problemas de física (y matemática), esta pendiente y, en lugar de la variable x, es el parámetro interesante. Para cambiar el enfoque a y, Legendre introdujo una nueva función,\(g(y)\) definida por
\[g(y)=x y-f(x)\]
La función\ (\ begin {ecuación}
g (y)
\ end {ecuación}\) se llama la transformada de Legendre de la función\ (\ begin {ecuación}
f (x)
\ end {ecuación}\).
Para ver cómo se relacionan, tomamos incrementos:
\[ \begin{align*} d g(y) &=y d x+x d y-d f(x) \\[4pt] &=y d x+x d y-y d x \\[4pt] &=x d y \end{align*}\]
(Mirando el diagrama, un incremento\ (\ begin {ecuación}
d x
\ end {ecuación}\) da un incremento relacionado\ (\ begin {ecuación}
d y
\ end {ecuación}\) a medida que la pendiente aumenta al subir la curva.)
A partir de esta ecuación,
\ begin {ecuación}
x=d g (y)/d y
\ end {ecuación}
Comparando esto con\ (\ begin {ecuación}
y=d f (x)/d x
\ end {ecuación}\), está claro que una segunda aplicación de la transformación de Legendre te llevaría de vuelta a la\ (\ begin {ecuación}
f (x)
\ end {ecuación}\) original. Entonces no se pierde información en la transformación de Legendre\ (\ begin {ecuación}
g (y)
\ end {ecuación}\) en cierto sentido contiene\ (\ begin {ecuación}
f (x)
\ end {ecuación}\), y viceversa.