6.9: Un ejemplo sencillo
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Para una partícula que se mueve en un potencial en una dimensión,\ (\ begin {ecuación}
L (q,\ punto {q}) =\ frac {1} {2} m\ punto {q} ^ {2} -V (q)
\ end {ecuación}\).
De ahí
\ begin {ecuación}
p=\ frac {\ parcial L} {\ parcial\ punto {q}} =m\ punto {q},\ quad\ punto {q} =\ frac {p} {m}
\ final {ecuación}
Por lo tanto
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {c}
h=p\ punto {q} -l=p\ punto {q} -\ frac {1} {2} m\ punto {q} ^ {2} +V (q)\\
=\ frac {p^ {2}} {2 m} +V (q)
\ end {array}
\ end {ecuación}
(Por supuesto, esto es solo la energía total, como esperamos).
Las ecuaciones hamiltonianas de movimiento son
\ begin {ecuación}
\ begin {array} {l}
\ punto {q} =\ frac {\ H parcial} {\ p parcial} =\ frac {p} {m}\
\ punto {p} =-\ frac {\ parcial H} {\ parcial q} =-V^ {\ prime} (q)
\ end {array}
\ end {ecuación}
Entonces, como hemos dicho, la ecuación lagrangiana de movimiento de segundo orden es reemplazada por dos ecuaciones hamiltonianas de primer orden. Por supuesto, equivalen a lo mismo (¡como deben!) : diferenciando la primera ecuación y sustituyendo en la segunda da inmediatamente\ (\ begin {ecuación}
-V^ {\ prime} (q) =m\ ddot {q},\ text {es decir,} f=M a
\ end {ecuación}\), la ecuación newtoniana original (que derivamos anteriormente de las ecuaciones de Lagrange).