7.5: Ejemplo: Componentes de Momentum Angular
- Page ID
- 130277
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Una partícula móvil tiene un momento angular alrededor del origen\ (\ begin {ecuación}
\ vec {L} =\ vec {r}\ times\ vec {p},\ text {so}
\ end {ecuación}\)
\ begin {ecuación}
L_ {1} =r_ {2} p_ {3} -r_ {3} p_ {2},\ quad L_ {2} =r_ {3} p_ {1} -r_ {1} p_ {3}
\ end {ecuación}
Usando los corchetes de Poisson que se encuentran arriba,
\ begin {ecuación}
\ izquierda [r_ {i}, r_ {j}\ derecha] =\ izquierda [p_ {i}, p_ {j}\ derecha] =0,\ quad\ izquierda [p_ {i}, r_ {j}\ derecha] =\ delta_ {i j}
\ end {ecuación}
tenemos
\ begin {ecuación}
\ begin {array}
{\ left [L_ {1}, L_ {2}\ derecha] =\ left [r_ {2} p_ {3} -r_ {3} p_ {2}, r_ {3} p_ {1} -r_ {1} p_ {3}\ derecha]}\\
=\ izquierda [r_ {2} p_ {3} p_ {3}}, r_ {3} p_ {1}\ derecha] +\ izquierda [r_ {3} p_ {2}, r_ {1} p_ {3}\ derecha]\\
=r_ {2} p_ {1} -p_ {2} r_ {1}\\
=-L_ {3}
\ end {array}
\ end {ecuación}
(Nota: recordamos al lector que estamos siguiendo la convención de Landau, en la que los corchetes de Poisson tienen el signo opuesto al uso más común, por ejemplo en Goldstein y Wikipedia.)
Se concluye que si se conservan dos componentes del momento angular, también lo es el tercero.