8.4: Otra forma de escribir la Acción Integral
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Hasta este punto, siempre hemos escrito la acción como una integral del lagrangiano con respecto al tiempo a lo largo del camino,
\ begin {ecuación}
S\ left (q_ {i} ^ {(2)}, t_ {2}, q_ {i} ^ {(1)},\ quad t_ {1}\ derecha) =\ int_ {q^ {(1)}, t_ {1}} ^ {q^ {(2)}, t_ {2}} L d t
\ end {ecuación}
Sin embargo, la expresión derivada en la última sección para el incremento de acción generada por un cambio incremental en el punto final de ruta es claramente igualmente válida para la contribución a la acción desde algún incremento interior de la ruta, digamos de\ (\ begin {ecuación}
(q, t)\ text {a} (q+d q, t+d t)
\ end {ecuación}\) para que podamos escribir la integral de acción total como la suma de estos incrementos:
\ begin {ecuación}
S\ izquierda (q_ {i}, t\ derecha) =\ int d S=\ int\ izquierda (\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t\ derecha)
\ end {ecuación}
En esta integral, por supuesto, los\ (\ begin {ecuación}
d q_ {i}
\ end {ecuación}\) se suman para cubrir todo el camino.
(Al escribir\ (\ begin {ecuación}
\ left (q_ {i}, t\ right)
\ end {ecuación}\) estamos siguiendo la práctica por defecto de Landau de tomar la acción como una función de las coordenadas finales del punto final y el tiempo, suponiendo que el punto inicial sea fijo. Esto casi siempre está bien, lo dejaremos claro cuando no lo esté).