8.7: ¿Cómo pueden p, q ser realmente variables independientes?
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Puede parecer un poco extraño al principio que variar p, q como variables independientes conduzca a las mismas ecuaciones que la minimización lagrangiana, donde solo variamos q, y esa variación “bloqueó” la variación de\ (\ begin {ecuación}
\ punto {q}
\ end {ecuación}\). Y, ¿no se define p en términos de\ (\ begin {ecuación}
q,\ dot {q}\ text {bу} p=\ parcial L/\ parcial\ punto {q}
\ end {ecuación}\) que es alguna función de\ (\ begin {ecuación}
q,\ punto {q}?
\ end {ecuación}\)? Entonces, ¿no variando q determinaría automáticamente la variación de p?
La respuesta es, no, p no se define como\ (\ begin {ecuación}
p=\ parcial L/\ parcial\ punto {q}
\ end {ecuación}\) desde el inicio en la formulación de Hamilton. En este enfoque hamiltoniano, p, q realmente se toman como variables independientes, luego variándolas para encontrar el camino mínimo da las ecuaciones de movimiento, incluyendo la relación entre p y\ (\ begin {ecuación}
q,\ punto {q}
\ end {ecuación}\)
Esto se produce de la siguiente manera: A lo largo del camino de acción mínima, acabamos de establecer que
\ start {ecuación}
d H (p, q) =\ punto {q} d p-\ punto {p} d q
\ final {ecuación}
También tenemos esa\ (\ begin {ecuación}
L=p\ dot {q} -H
\ end {ecuación}\) así que (¡transformación de Legendre!)
\ comenzar {ecuación}
d L (q,\ punto {q}) =p d\ punto {q} +\ punto {p} d q
\ final {ecuación}
de la cual, a lo largo de la ruta física,\ (\ begin {ecuación}
p =(\ parcial L/\ parcial\ punto {q}) _ {q\ text {constante}}
\ end {ecuación}\). Entonces esta identidad, anteriormente escrita como la definición de p, ahora surge como consecuencia de la minimización de la acción en el espacio de fases.