8.6: Ecuaciones de Hamilton a partir de la minimización de acciones
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Para variaciones arbitrarias de ruta pequeña\ (\ begin {ecuación}
\ delta q,\ delta p
\ end {ecuación}\) en el espacio de fase, la condición de acción mínima usando la forma de acción dada anteriormente genera las ecuaciones de Hamilton.
(Nota para nitpickers: Esto puede parecer un poco sorprendente, ya que generamos esta forma de la acción usando las ecuaciones a lo largo del camino dinámico real, ¿cómo podemos variarla y aún usarlas? Oso conmigo, ya verás.)
Demostraremos esto para un sistema unidimensional, es trivial ir a muchas variables, pero abarrota las ecuaciones.
Para una pequeña desviación de ruta\ (\ begin {ecuación}
\ delta q,\ delta p
\ end {ecuación}\) el cambio en la acción\ (\ begin {ecuación}
S=\ int (p d q-h d t)
\ end {ecuación}\) es
\ begin {ecuación}
\ delta S=\ int [\ delta p d q+p d (\ delta q) - (\ H parcial/\ q parcial)\ delta q d t- (\ H parcial/\ p parcial)\ delta p d t] =0
\ final {ecuación}
e integrando\ (\ begin {ecuación}
p d (\ delta q)
\ end {ecuación}\) por partes, con\ (\ begin {ecuación}
\ delta p=\ delta q=0
\ end {ecuación}\) en los puntos finales,
\ begin {ecuación}
\ delta S=\ int\ delta p\ {d q- (\ H parcial/\ p parcial) d t\} + [p\ delta q] -\ int\ delta q\ {d p+ (\ H parcial/\ q parcial) d t\} =0
\ final {ecuación}
Las variaciones de ruta\ (\ begin {ecuación}
\ delta p,\ delta q
\ end {ecuación}\) son independientes y arbitrarias, por lo que deben tener coeficientes idénticamente ceros—las ecuaciones de Hamilton siguen inmediatamente,\ (\ begin {ecuación}
\ punto {q} =\ H parcial/\ p parcial,\ punto {p} =-\ H parcial/\ parcial q
\ end {ecuación}\) De nuevo, vale la pena enfatizar el paralelo cercano con la mecánica cuántica: las ecuaciones de Hamilton escritas usando corchetes de Poisson son:
\ begin {ecuación}
\ punto {q} = [H, q],\ quad\ punto {p} = [H, p]
\ final {ecuación}
En mecánica cuántica, las ecuaciones de movimiento de Heisenberg correspondientes para operadores de posición e impulso en términos de colectores son
\ begin {ecuación}
\ punto {q} =( 1/i\ hbar) [H, q],\ quad\ punto {p} =( 1/i\ hbar) [H, p]
\ end {ecuación}